第16讲抽象函数性质综述p.doc

抽象函数性质综述
抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.
函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.
函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.
函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.
一、基本定义
1、定义1：（周期函数）对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域的每一个值时，都有，那么，函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点仍在函数的图象上，则称函数的图象关于点（或直线）对称.
3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点在函数的图象上；反过来，函数图象上任一点关于点（或直线）的对称点也在函数的图象上，则称函数与的图象关于点（或直线）对称.
二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明
1、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周期的周期函数；
2、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于直线对称；
3、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于点对称；
4、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周期的周期函数；
5、若函数的定义域为，则函数与的图象关于直线对称；
6、若函数的定义域为，则函数与的图象关于点对称.
略证：1、，函数是以为周期的周期函数.
2、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，
点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线对称.
3、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，
点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于点对称.
4、
,函数是以为周期的周期函数.
5、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为，
点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于直线的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于直线对称.
6、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为，
点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于点的对称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于点对称.
三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论
1、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；函数和函数的图象也关于轴对称.
2、若函数满足，则函数的图象关于原点对称；函数和函数的图象也关于原点对称.
3、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；而函数和函数的图象关于直线对称.
4、若函数满足，则函数的图象关于原点对称.而函数和函数的图象关于点对称.
5、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；而函数和函数的图象关于轴对称.
6、若函数满足，则函数的图象关于点对称；而函数和函数的图象关于原点对称.
7、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；函数和函数的图象也关于直线对称.
8、若函数满足，则函数的图象关于点对称；函数和函数的图象也关于点对称.
9、若函数满足，则函数是以为周期的周期函数；若函数满足，则函数是以为周期的周期函数.
四、函数周期性与对称性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数.
2、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数.
3、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数.
略证：
1、=
，函数是以为周期的周期函数.
2、3同理可证.

五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
略证：
1、由上述四中的第1点即可得函数是以为周期的周期函数,
又
函数是偶函数.
2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.
六、其它结论
1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.
2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.
注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解.
3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.
4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称.
略证；任取，令，则，，
由中点公式知点与点关于点对称.由的任意性，知函数的图象关于点对称.
5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数.
注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.

七、知识运用
1、（2005·广东 19）设函数在（，）上满足，，且在闭区间[0，7]上，只有。
⑴试判断函数的奇偶性；
⑵试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解：⑴由，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。
因为函数在[0，7]上只有可知 ，
又 ，∴
而 且，则，
因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。
⑵由，可得
故函数在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足；从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数在[－2005，2005]上共有802个解。
2、函数f(x)在定义域R上不是常函数，且f(x)满足条件：对任意x,都有f(x+4)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1)则f(x)是( )
A奇函数但非偶函数 B偶函数但非奇函数 C是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数
解答：由已知条件可得，该函数关于x=4对称,且周期为2，由提问（3）直接可得。
事实上，f(-x)=f(x+8),f(x)=f(x+8),所以f(-x)= f(x)，故选B
3、已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),( x)且f(1)=1,f(2005)=
解答：用x+1替换条件中的x得，f(x+3)=f(x+2)- f(x+1) ①, f(x+2)=f(x+1)-f(x) ②,
① +② 可得f(x+3)= -f(x)，用x+3替换x,得f(x+6)= -f(x+3),所以 f(x+6)= f(x)，故6是它的一个周期，
则f(2005)=f(334=f(1)=1
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