圆锥曲线专题.doc

圆锥曲线的综合问题
直线和圆锥曲线问题解法的一般规律
“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

【一】．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．
1.设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.
由，消元。如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
a．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．

3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
＝ 或|P1P2|＝ .
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．

4．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px (p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
【例1】　已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.
(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
(2)若λ∈，求|PQ|的最
大值．

[思维启迪]
(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．
解析：
(1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．
∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，
∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，
∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，
λx2(λ－1)＝λ－1，
∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，
∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)
＝λ＝λ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
(2)解　由(1)知x2＝，x1＝λ，
得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，
∵y1y2>0，∴y1y2＝4，
＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)
＝2＋4－12
＝2－16，
λ∈，λ＋∈，
当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.
[探究提高]
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

变式训练1 (2012·四川)如图，动点M与两定点 A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程．(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|<|PR|.求的取值范围．
解　(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
此时，MA的斜率为，MB的斜率为.
由题意，有·＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
(2)由
消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)
对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0，
而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1.
结合题设(m>0)可知，m>0且m≠1.
设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，
则xQ，xR为方程(*)的两根．
因为|PQ|<|PR|，所以|xQ|<|xR|，xQ＝，
xR＝.
所以＝＝＝1＋.
此时>1，且≠2，
所以1<1＋<3，且1＋≠，
所以1<＝<3，且＝≠.
综上所述，的取值范围是∪.

题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
【例2】 已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

[思维启迪]
可设直线AE的斜率来计算直线EF的斜率，通过推理计算消参．
解析
(1)解　由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1.
因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1.
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．
因为点A在椭圆上，
所以xE＝
yE＝kxE＋－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，
可得xF＝，
yF＝－kxF＋＋k，
所以直线EF的斜率
kEF＝＝＝，
即直线EF的斜率为定值，其值为.
[探究提高]
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

变式训练2 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
(1)解　设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，
由e＝＝，得a＝2c，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，
则椭圆方程变为＋＝1.
又椭圆过点P，将其代入求得c2＝1，
故a2＝4，b2＝3，即得椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
则①
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0，
∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，
由①，得3＋4k2－m2>0，
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点，定点坐标为.
题型三 圆锥曲线中的探索性问题
【例3】　已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

[思维启迪]
可先假设l存在，然后根据与C有公共点和与OA距离等于4两个条件探求．

解析
解　方法一　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.
由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
方法二　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
且有
从而a2＝16.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)同方法一．
[探究提高]
解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．

变式训练3 (2012·江西)已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.
(1)求曲线C的方程；
(2)动点Q(x0，y0)(－2<x0<2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：是否存在定点P(0，t)(t<0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
解　(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，
|＋|＝，
·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，
由已知得＝2y＋2，
化简得曲线C的方程：x2＝4y.
(2)假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，
则直线PA的方程是y＝x＋t，
PB的方程是y＝x＋t.
曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，它与y轴的交点为F.
由于－2<x0<2，因此－1<<1.
①当－1<t<0时，－1<<－，存在x0∈(－2,2)，使得＝，
即l与直线PA平行，故当－1<t<0时不符合题意．
②当t≤－1时，≤－1<，≥1>，
所以l与直线PA，PB一定相交．
分别联立方程组
解得D，E的横坐标分别是xD＝，
xE＝，
则xE－xD＝(1－t).
又|FP|＝－－t，
有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝·，
又S△QAB＝·4·＝，
于是＝·
＝·.
对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，
即只需t满足
解得t＝－1.此时＝2，
故存在t＝－1，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.
该直线恒过一个定点A(，0)．

19.圆锥曲线中的函数思想
思想与方法
典例：(12分)已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标．
审 题 视 角
(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解．
(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．

规 范 解 答
(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
当x1≠x2时，由，得＝－·.
设线段PQ的中点N(1，n)，∴kPQ＝＝－，
∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，
该直线恒过一个定点A(，0)．
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)．
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)．
(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，
故点B(－，0)．
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，
|PB|2＝(x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥，
∴当点P的坐标为(0，±)时，|PB|min＝.
温 馨 提 醒
(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．
(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ的中点．第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.

思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧
1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y＝kx＋c代入椭圆方程＋＝1整理出关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为)．
2．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；
(2)重视平面几何知识在解题中的作用；
(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；
(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．

失 误 与 防 范
1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．
2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．

练出高分
A组　专项基础训练
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 (　　)
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

解 析
由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.

2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为 (　　)
A．b2 B．ab C．ac D．bc

解 析
设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，
则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.

3．过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2

解 析
记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos 60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.

4．(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 (　　)
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解 析
∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，∴y0>2.

5．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.

解 析
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，两式相减整理得，＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入 x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得||＋||＝y1＋y2＋2＝10.

6．已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝______.
将x＝－代入椭圆方程得yp＝，由|PF1|＋|PF2|＝4
⇒|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.

7．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
由题意得
∴　即k＝2.
8．(10分)椭圆＋＝1 (a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明　由
消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)>0
⇒a2b2(a2＋b2－1)>0，
∵a>b>0，∴a2＋b2>1.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2. ④
∴＋＝2.
(2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数
由e＝⇒b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤.
∵a>0，∴≤a≤.∴长轴长的取值范围为[，]．
9．(12分)给出双曲线x2－＝1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；
(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

解　(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率k＝＝4.
故求得直线方程为4x－y－7＝0.
(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
按照(1)的解法可得＝， ①
由于P1，P2，P，A四点共线，得＝， ②
由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.
(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.
考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的．

练出高分
B组　专项能力提升
1．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为 (　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1

解 析
∵kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则－＝1.整理，得
(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，∴双曲线E的方程为－＝1.
2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 (　　)
A．3 B．4 C．3 D．4
解 析
　设直线AB的方程为y＝x＋b.
由⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，
得AB的中点M.
又M在直线x＋y＝0上，可求出b＝1，
∴x2＋x－2＝0，
则|AB|＝·＝3.
3．如图，已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4的值是(　　)
A．1 B. C．2 D．4
解 析
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y2＝2px(p>0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝(－m)×4＝2，两边平方即可得m6＋m4＝2.
4．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是______________．
∵方程＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.
∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：＋≤1，m≥1，
∴m的取值范围是m≥1且m≠5.
5．已知双曲线－＝1 (a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－＝1的距离之和s≥c，则e的取值范围是__________．
解 析
由题意知s＝＋＝≥c，
∴2c2≤5ab，∴≤.
又＝＝，∴2e2≤5，
∴4e4≤25(e2－1)，∴4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5，∴≤e≤.
6．若过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为____________．
如图，过A、B分别作AD、BE垂直于准线，垂足分别为D、E.

由|BC|＝2|BF|，即|BC|＝2|BE|，
则∠BCE＝30°，又|AF|＝3，即|AD|＝3，|AC|＝6，
∴F为AC的中点，KF为△ACD的中位线，
∴p＝|FK|＝|AD|＝，
所求抛物线方程为y2＝3x.
7．(13分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
(1)解　双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.
不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为
y＝，即y＝x＋1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)证明　设直线PQ的方程是y＝x＋b.
因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以
·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.
(3)证明　当直线ON垂直于x轴时，
|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得
所以|ON|2＝.
同理|OM|2＝.
设O到直线MN的距离为d，
因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，
所以＝＋＝＝3，即d＝.
综上，O到直线MN的距离是定值．