圆锥曲线专题.doc

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”【一】直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断1.设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程f(x，y)0.由，消元。如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合若a0，设b24ac.a 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c 0时，直线和圆锥曲线没有公共点2.“点差法”的常见题型 求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式0是否成立3直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2| 或|P1P2| .(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)4圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px (p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题 【例1】已知抛物线C：y24x，过点A(1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若，求|PQ|的最大值思维启迪(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和的关系，然后求最值解析：(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，xxyy2(x1x2y1y2)2412216，当，即时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值变式训练1 (2012四川)如图，动点M与两定点 A(1,0)、B(1,0)构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|0，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0且m1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根因为|PQ|PR|，所以|xQ|1，且2，所以113，且1，所以1b0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为1.又椭圆过点P，将其代入求得c21，故a24，b23，即得椭圆的标准方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立则又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m20，当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当m2时，l的方程为yk，直线过定点，直线l过定点，定点坐标为.题型三 圆锥曲线中的探索性问题 【例3】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由思维启迪可先假设l存在，然后根据与C有公共点和与OA距离等于4两个条件探求解析解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有从而a216.所以椭圆C的方程为1.(2)同方法一探究提高解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确变式训练3 (2012江西)已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q(x0，y0)(2x02)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：是否存在定点P(0，t)(t0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线C的方程：x24y.(2)假设存在点P(0，t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲线C在Q处的切线l的方程是yx，它与y轴的交点为F.由于2x02，因此11.当1t0时，1，存在x0(2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当1t0时不符合题意当t1时，1，所以l与直线PA，PB一定相交分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD，xE，则xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|，又SQAB4，于是.对任意x0(2,2)，要使为常数，即只需t满足解得t1.此时2，故存在t1，使得QAB与PDE的面积之比是常数2.该直线恒过一个定点A(，0)19.圆锥曲线中的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标审 题 视 角(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值规 范 解 答(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由，得.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，当点P的坐标为(0，)时，|PB|min.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ的中点第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围实质上是忽视了椭圆的范围.思想方法感悟提高方 法 与 技 巧1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程ykxc代入椭圆方程1整理出关于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC 0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为)2圆锥曲线综合问题要四重视：(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用失 误 与 防 范1在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况2中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部练出高分A组专项基础训练1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B1或3 C0 D1或0解 析由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.2AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 Bab Cac Dbc解 析设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x1，y1)，则SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.3过抛物线y22px (p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()A5 B4 C3 D2解 析记抛物线y22px的准线为l，作AA1l，BB1l，BCAA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos 60，由此得3，选C.4(2011山东)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解 析x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|MF|y02.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.5设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|_.解 析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1x22，且x4y1，x4y2，两式相减整理得，所以直线AB的方程为x2y70.将x2y7代入 x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由抛物线定义得|y1y2210.6已知椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_.将x代入椭圆方程得yp，由|PF1|PF2|4|PF2|4|PF1|4.7直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是_设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由题意得即k2.8(10分)椭圆1 (ab0)与直线xy10相交于P、Q两点，且OPOQ(O为原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直线与椭圆有两个交点，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1、x2是方程的两实根x1x2，x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由eb2a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.长轴长的取值范围为，9(12分)给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由解(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四点共线，得，由可得，整理得2x2y24xy0，检验当x1x2时，x2，y0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的练出高分B组专项能力提升1已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解 析kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25，双曲线E的方程为1.2已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A3 B4 C3 D4解 析设直线AB的方程为yxb.由x2xb30x1x21，得AB的中点M.又M在直线xy0上，可求出b1，x2x20，则|AB|3.3如图，已知过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6m4的值是() A1 B. C2 D4解 析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，m，将xmym代入抛物线方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根与系数的关系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面积S|y1y2|(m)42，两边平方即可得m6m42.4直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_方程1表示椭圆，m0且m5.直线ykx1恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点，应有：1，m1，m的取值范围是m1且m5.5已知双曲线1 (a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与(1,0)到直线1的距离之和sc，则e的取值范围是_解 析由题意知sc，2c25ab，.又，2e25，4e425(e21)，4e425e2250，e25，e.6若过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为_如图，过A、B分别作AD、BE垂直于准线，垂足分别为D、E.由|BC|2|BF|，即|BC|2|BE|，则BCE30，又|AF|3，即|AD|3，|AC|6，F为AC的中点，KF为ACD的中位线， p|FK|AD|，所求抛物线方程为y23x.7(13分)(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ.(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值(1)解双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：yx.不妨取过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明设直线PQ的方程是yxb.因为直线PQ与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值