双曲线及其性质.doc

二中2012届高三数学理科一轮复习讲义
双曲线及其性质
命题人:范志君 审核人:沙志峰
学习目标:掌握双曲线的定义,性质,标准方程
活动一：知识点梳理
1. 双曲线的定义：
平面内到两定点F1，F2的 的点的轨迹叫做双曲线．
两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，|F1F2|叫做 ．
第二定义：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(e＞1)时，这个点的轨迹叫做双曲线，其中定点称为 ，定直线称为双曲线的 ，常数e叫做双曲线的 ．
①定义不仅可以导出椭圆和双曲线的标准方程，而且解题过程也经常用到．
②椭圆、双曲线的第二定义：
到定点F(c，0)的距离和到定直线l：x＝的距离之比为常数(a＞0，c＞0)的点的轨迹．
当a＞c＞0（0＜＜1）时，轨迹是椭圆；当c＞a＞0（＞1）时，轨迹是双曲线．
2.双曲线的标准方程及几何性质如下：
标准方程

图形
y
B2
F1
x＝－
x
F2
x＝
P
B1
A2
A1
O

y
B2
F1
y＝－
x
F2
y＝
P
B1
A2
A1
O

顶点

轴

焦点

焦距

离心率

准线方程

渐近线方程

焦点半径

活动二：基础自测
1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .
2.过双曲线的左焦点有一条弦在左支上，若||=7，是双曲线的右焦点，则△的周长是 .
3.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0,n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0）.若是与的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率等于 .
4.设、分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点，使∠=90°且||=3||,则双曲线的离心率为 .
活动三：典型例题
题型一 : 双曲线的定义
例1：已知动圆与圆：外切，与圆：内切，求动圆圆心的轨迹方程.

变式.由双曲线=1上的一点与左、右两焦点、构成△，求△的内切圆与边F1F2的切点坐标.

题型二: 双曲线的标准方程
例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）；
（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.
（3）渐近线方程为＝0与，焦点为椭圆+=1的一对顶点．
（4）和椭圆25x2＋9y2＝225有公共的焦点，且离心率之和为2．

题型三:双曲线的性质
例3：双曲线：=1 (a＞0,b＞0)的右顶点为，轴上有一点（2，0），若上存在一点，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.

变式：已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为,且过点（4，-）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点（3，）在双曲线上，求证：·=0；
（3）求△的面积.

活动四：反馈练习
1、已知点和，一曲线上的动点，且，则该曲线的方程为 .
2、已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则 ;若双曲线的离心率，则 .
3、设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率= .

4、与椭圆有相同焦点，且以为渐近线的双曲线方程为 .

5、已知双曲线的焦点在轴上，且，则它的标准方程为 .

6、设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 .

7、已知双曲线的一条准线是，则= .

8、焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为3，则此双曲线的方程为 .

9、双曲线的中心在原点，实轴在轴上，且与圆交于点，如果过点的圆的切线恰好平行于双曲线的左顶点与虚轴上端点的连线，则此双曲线的方程为 .