双曲线及其标准方程.doc

献课教师教学设计 学案及教学反思
《双曲线及其标准方程》教学设计
一 教学内容分析：
本内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，这充分考虑了紧密联系 知识体系和由易到难的教学要求，符合学生的学习，在新课程教材中继续保留，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的综合加强，有利于学生掌握和巩固，体现了数学的和谐之美。
本课的主要学习内容有：①探求轨迹（双曲线）②学习双曲线的定义 ③推导双曲线标准方程 ④学习标准方程的简单应用
二 学生学习情况分析：
我校是市级重点学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。学生先前已经学习了椭圆，；了解椭圆的定义。经历了根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆标准方程的过程。也了解椭圆的简单几何性质。本节学习的双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示。在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c与a的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等．而且学生在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。
三 设计思想：
本课为解析几何内容，充分体现了解析法的应用，学好概念是本课的关键。在辅助媒体的选用上我选择了实物投影和课件共用．利用Flash动画再现椭圆的形成过程，借助于实物投影演示双曲线的形成，课件呈现图表类比，对比椭圆与双曲线的异同；在“双曲线概念的形成” 和“双曲线的标准方程及其推导”过程中我设计了不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过让学生动手演示，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
四 教学目标：
知识与技能：类比椭圆理解双曲线定义及其标准方程，了解双曲线定义探究双曲线标准方程的基础上会求简单的双曲线标准方程。
过程与方法：通过对双曲线定义和标准方程的探索，引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识。
情感态度与价值观：营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学，体会成功带来的喜悦，体会数学的简捷美、和谐美。。

五 教学重点 教学难点：
重点：双曲线定义理解、标准方程的推导、探索过程、及简单应用；
难点：定义中的“差的绝对值”，与的关系的理解、标准方程的化简
六 课前准备：
①全班按4人一组分成若干组，每组准备8K纸一张，拉链一根
②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．
③实物投影仪，Flash课件．
④化简
【设计意图】节省上课时同学们推导标准方程的时间，有利于对本节重点的突破。
七 教学方法：引导，实践，探究，讲授，归纳
八 教学过程设计：
（一） 回顾椭圆， 寻求引领方法
问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？
问题2：如何作椭圆？
【设计意图】回顾旧知识，为双曲线内容的学习作准备
（二）动手演示，感受双曲线形成
在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？
F1
F2
M
（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）
【设计意图】问题的提出目的是为了引起同学们对旧知识的联想，有助于类比。
总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其
端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两
个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的
差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭
合，笔尖就画出一条曲线．
F1
F2
M
（学生动手，老师指导，然后在讲台上演示）
（三）剖析特征，提炼双曲线定义
3.1 分析演示结果
展示学生画图结果一：
拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F2|．动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F1F2|，而|F1F2|为定长，所以
点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a，即|MF1|-|MF2|=2a
F2
F1
M
展示学生画图结果二：
画出来的曲线开口向左边
（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，
讨论点M到F1与F2两点的距离的差确切怎样表示？）
F2

F1
M
.
展示学生画图结果三：
拉链头拉不到F2点，图画不出来
（引发学生思考为什么会画不出来？||MF1|-|MF2||
与|F1F2|有何关系？）
【设计意图】让学生对照椭圆的定义，自主得出双曲线的定义，并讨论条件发生改变时，方程所表示的曲线，为双曲线标准方程的推导做准备
3.2 双曲线定义：
（引导学生概括出双曲线的定义）
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
数学简记：（）
（直观感觉双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．曾经学过的反比例函数图象是双曲线．那么双曲线就是反比例函数图象？答，不是的，反比例函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函数的形式，下面我们就研究双曲线的方程）
（四）类比椭圆，推导标准方程
4.1 推导
回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．
（教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）
整理修改板演学生的结果：
设，，，
由，得

，
令（），得，即．
【设计意图】让学生熟悉推导曲线方程的一般过程，同时培养学生自主运算、化简的能力；通过亲身推导双曲线的方程，深刻体会双曲线中、、之间的关系，能够与椭圆中、、之间的关系区别开来。
4.2 标准方程
①双曲线的标准方程
当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：
当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：
②参数a,b,c的关系
（） （实轴长） （焦距）
③与椭圆的对比
(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，并用课件表格的形式呈现)
（五）应用解题，巩固知识要点
例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值。
（1） ( 2 )
(3 ) （4）
．
【设计意图】通过练习使学生能够判断所给出的方程是否表示双曲线，并判断出焦点所在坐标轴
例2．求满足下列条件的双曲线标准方程：
（1）若，焦点在轴上；

（2）若，.
【设计意图】进一步巩固方程的结构特征
例3． 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是　　．
变式：（1）改为表示焦点在y轴上的双曲线呢？

（2）改为表示双曲线呢？

（3）若表示交点在轴的椭圆呢？
【设计意图】通过变式训练，让学生深刻体会到双曲线方程的本质及与椭圆方程的区别
例题4：（1）求两个定点，的距离之差的绝对值为24的点M的轨迹方程；

变式：已知两定点，，求满足条件的点M的轨迹方。

【设计意图】通过本例题使学生掌握用定义法求解双曲线的方程，两个练习主要是针对双曲线定义的应用来设置的，让学生进一步理解双曲线的定义，并能够灵活应用：进一步强化曲线方程的求解，并总结求解双曲线标准方程的方法和策略。
五 课堂训练，反思调节。
1.双曲线，a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
2.求满足下列条件的双曲线方程。
（1）焦点在x轴上，a=2 ，b=1 (2) a=4, c=5

3.已知两定点、，动点满足，则当和时，点的轨迹为 （ ）
A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【设计意图】练习主要内容为双曲线的定义和标准方程。突破重点。

六．对比总结，整合新学知识
问题1：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？

问题2：用到了哪些数学思想方法

问题3：分析双曲线与椭圆的相同点与不同点
（从定义阐述，方程结构特征，a,b,c之间的关系，焦点坐标的判断着手分析 ）

椭 圆
双曲线
定 义
（用集合表示）

标准方程
焦点在x轴
焦点在y轴
焦点在x轴
焦点在y轴
a,b,c关系

怎样判断
焦点位置

【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。
七．作业：

1．完成学案36页 1-5题
2．预习书56-59页。
3．选作：当时，方程表示什么曲线？

【设计意图】布置作业，巩固学习效果
八 板书设计:

双曲线的定义及标准方程

1、 双曲线的定义 3.例3 解题过程
2、 标准方程的推导
焦点在x轴上
标准方程
焦点在y轴上
标准方程