双曲线及其标准方程详解.doc

2．2　双曲线
2．2.1　双曲线及其标准方程

【课标要求】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
【核心扫描】
1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)
2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)

自学导引
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
提示　(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．

(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．
(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
想一想：如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点的位置？
提示　如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
名师点睛
1．对双曲线定义的理解
(1)把定常数记为2a，当2a<|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，其轨迹不存在．
(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．
(3)双曲线定义的表达式是＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”
2．双曲线的标准方程
(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．
(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方
程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论.

题型一　 求双曲线的标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或＋＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(0<λ<6)．
解　(1)法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得
解之得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一　依题意，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二　∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
规律方法　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．
【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，
即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
2.若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D．－
A　解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2．
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2．∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－．
∴|PF1|·|PF2|＝m－a．

题型二　双曲线定义的应用
【例2】
如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；
(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．
解　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义，得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6 或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝
36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
规律方法　(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
【变式2】1．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
1．解：连接ON，ON是△PF1F2的中位线，

所以|ON|＝|PF2|．
因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9．
2．设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
解：由方程－＝1，得a＝4，b＝3，故c＝＝5，
所以|F1F2|＝2c＝10．
又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝64．①
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100．②
①－②，得|PF1||PF2|＝36，
所以＝|PF1||PF2|sin 60°＝×36×＝9．

3.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.

误区警示　忽略双曲线焦点位置致误
【示例】 方程＋＝1表示双曲线，那么m的取值范围是________．
[错解] 由解得－3<m<2，
∴m的取值范围是{m|－3<m<2}．
只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．
[正解] 依题意有或
解得－3<m<2或m>3.
∴m的取值范围是{m|－3<m<2或m>3}．
答案　{m|－3<m<2或m>3}
方程＋＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m、n应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m、n应满足mn<0，当m>0，n<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.
当堂检测
1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)
A．(x≤－4) B．(x≤－3)
C．(x≥4) D．(x≥3)
答案：D　解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，∴所求轨迹方程为(x≥3)．
2．已知双曲线为，则此双曲线的焦距为(　　)
A． B． C． D．
答案：D　解析：由已知λ＜0，a2＝2，b2＝－λ，c2＝2－λ，∴焦距．
3．已知双曲线上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为(　　)
A．7 B．23 C．5或25 D．7或23
答案：D　解析：设F1(－5,0)，F2(5,0)，
则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，
而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线的左支上，则＝______．
答案：　解析：如图，．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．
答案：4　解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．
把x＝3代入双曲线方程得y＝±，即M点的坐标为(3，±)．
由两点间距离公式得|MF|＝＝4．

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