双曲线及其标准方程习题.doc

[学业水平训练]
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　　 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|，
所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
2．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．(5,10) B．(－∞，5)
C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)
解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10.
3．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.椭圆＋＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1.
4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D.将方程化为－＝1.
5．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．12
解析：选B.双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
7．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P(－3，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c＝2，又点P到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a，
2a＝|－|＝2，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.又焦点在y轴上，
∴双曲线的方程为y2－＝1.
答案：y2－＝1
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)．
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则
解得
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知c＝2.
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1.
又因为a2＋b2＝(2)2，
所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
10．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
解得c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
[高考水平训练]
1．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.
不妨设点F1(－3,0)，
容易计算得出
|MF1|＝＝，
|MF2|－|MF1|＝2.
解得|MF2|＝.
而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，
由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，
求得F1到直线F2M的距离d为.
2．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
3．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求C的圆心轨迹L的方程．
解：设两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，两圆相离，
由题意得||CF1|－|CF2||＝4＜2＝|F1F2|，
从而得动圆的圆心C的轨迹是双曲线，
且a＝2，c＝，所以b＝＝1，
所求轨迹L的方程为－y2＝1.

4．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解：双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.