双曲线及其标准方程（1）.doc

课题
双曲线及其标准方程（1）
授课教师

学校

教学
目标
知识与能力
1、 掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。明确双曲线标准方程中a、b、c之间的关系
2、 培养学生运用变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，提高学生的创新能力
过程与方法
学生通过椭圆与双曲线的对比学习与探究，亲历知识的建构过程；理解其中所蕴含的数学思想与方法
情感态度
与价值观
通过探究，体验挫折的艰辛与成功的喜悦，培养学生不怕困难的精神，结合实际，对学生进行爱国主义教育
教学
重点
双曲线的定义及其标准方程
教学
难点
双曲线定义的形成
双曲线方程的推导
课型
新授课
教学手段
多媒体
教学流程
教学
环节
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图

（一）
创设
问题
情境

引入
教学
课题
一、复习回顾，推陈出新
提问：椭圆的第一定义是什么？
需注意什么？
问题1：（多媒体展示）
如图：⊙F1与⊙F2外离，其半径分别为r1与r2，动圆M与⊙F1，⊙F2一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹方程？

师提问：
1、 点M符合什么条件？
生答： |MF1|—|MF2|=r1+r2
或|MF2|—|MF1|=r1+r2
2、 点M的轨迹是什么图形？请同学们思考。
师：我们把上述两条曲线称为双曲线，注意“双”字。
从而引出新课。

提问旧知识

利用多媒体展示新问题

教师浏览关注学生作图状况

教师用几何画板演示轨迹

教师板书课题

学生回答

学生认真分析题意，先独立思考然后相互交流阐述方案

学生动手作图并回答

学生观察
让学生回顾椭圆的定义，为下面类比双曲线的定义做准备。

以问题为出发点，培养学生的直觉思维，通过创设情境，使学生明确研究问题的必要性，形成探究心理机制。

教师通过运动的方式，直观演示双曲线的形成过程，使学生对双曲线的定义有感性认识，学生亲历知识的建构过程，可以增强他们参与数学探究活动的意识
双曲线及其标准方程（1）
教学
环节
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图

（二）创设
探究
氛围

推导
曲线
方程
二、得出定义，推导方程
问题2：能否将|MF1|—|MF2|=r1+r2
与|MF2|—|MF1|=r1+r2统一成一个表达式呢？如何统一？
||MF1|—|MF2||=r1+r2
问题3：类比椭圆定义，请你给双
曲线下定义
（一）双曲线：
定义：平面内到两个定点距离差的
绝对值是常数2a（2a<|F1F2|）
的点的轨迹叫做双曲线。
问题4：椭圆中的常数有何要求？双曲线中的常数有没有要求呢？是什么要求？
讨论：当常数分别等于零、小于|F1F2|且大于零、等于|F1F2|、大于|F1F2|时，轨迹各是什么？
在上述基础上，请学生完整地概括
出双曲线的定义

（二）定义理解
（1）符号表达：||MF1|—|MF2||=2a
（2）关键词：
差的绝对值: 两支，
差: 一支
（3）条件：2a<2c=|F1F2|

问题5：类比椭圆的标准方程的求
法，我们应该能够求出双曲线的标准方程，请同学们回忆求曲线方程的一般步骤是什么？
（建系设点、找关系、列方程、化简、证明）
师：如何建立平面直角坐标系呢？
问题6：你认为哪种建系方法最有优势，优势是什么？
学生独立得到方程
（c2-a2）x2-a2y2=（a2-c2）a2

提问启发引导,教师鼓励

学生若回答不完整教师继续引导

教师关注并参与到学生的讨论中去,合作交流及时捕捉到学生智慧的火花,加以赞扬。
教师演示各种轨迹

教师引导学生从几个方面进行理解

教师及时展示学生的建系方案.

教师巡视调控教学进程
学生观察，给予解答
学生思考后回答

学生畅所欲言，通过思维的碰撞总结归纳出结论

学生观察

学生在（2）处会产生困惑，但经过探究就会自行解决

学生各抒己见,自主探究

学生推导
方程

培养学生思维的深刻性与严谨性

引导学生归纳新知，使学生能积极参与到课堂中来，培养学生的归纳总结能力

通过对常数2a的讨论增强学生合作探究意识，为完善双曲线定义做好铺垫

教师提问旨在加深学生对定义的理解

进一步巩固求曲线方程的步骤

教学
环节
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图

问题7：类比推导椭圆方程的方法，该如何进行下一步？并说明理由。
（三）标准方程
师：
就是焦点在x轴的双曲线的标准方程
问题8：若焦点在y轴上，双曲线的标准方程又如何呢？

教师写出椭圆方程

教师进一步类比椭圆方程进行提问

学生观察椭圆方程从而找到解决办法

学生准确回答

模仿推导椭圆方程的方法让学生体会类比这一思想方法，同时把问题交给学生，为学生创造自主探究的空间

（三）
尝试
练习

加深
理解
三 认识方程
练习：试说出下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标
（1）
（2）4x2-y2+64=0
双曲线方程的结构特征
（1）a、b、c的关系是c2=a2+b2
（2）a>0，b>0，但a，b无大小关系
（3）焦点在正项对应的坐标轴上
请基础较弱的学生回答（1）对回答正确的给予表扬

引导学生概括出双曲线方程的结构特征

学生积极踊跃回答

学生类比椭圆总结出特征

通过练习题，加强学生应用公式的熟练程度，同时让其体验成功的快乐。

进一步认识双曲线的标准方程，潜移默化渗透类比思想。
（四）理解
应用

拓展
升华
四、求解方程
例1：已知点F1（-5，0），F2（5，0），求与它们的距离的差的绝对值等于6的点P的轨迹方程。
教师引导学生分析，解决如下问题：
（一）分析归纳解题步骤
（1）判定所求的轨迹是双曲线
（2）确定焦点位置（即方程类型）
（3）求出a2，b2，（4）写标准方程
（二）如果把题目中的数字6改为10，其它条件不变，会出现什么情况？改为12呢？
（三）例题是用什么方法来求轨迹方程的？这种方法在什么条件下才能奏效？（定义法）

教师启发引导纠正，对极个别学生进行指导

学生 积极思考配合教师顺利完成例题

通过对例题的充分挖掘，最大限度发挥例题功能

通过变式训练加深学生对定义中常数范围的理解

明确用定义法求轨迹方程的适用范围

教学
环节
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图

五 双曲线的实际应用
抗美援朝战争中，敌我双方都设有观察站，但我炮兵向敌军阵地炮击不久，美军即会把炮弹比较准确地打到我军阵地，迫使我炮兵只能打几炮就转移了，原因何在？

师：“志愿军为何不能这样做呢？因为志愿军战士大多数是文盲或小学文化，美军多数是中学生，这证实了邓小平同志的名言——落后就要挨打。台湾回归祖国为什么那么难？就是台湾当局挟洋人以自重，而我们的军事实力还远不如美国，‘还我河山’同学们任重道远啊！”

教师形象生动的提出实际问题

教师激情陈述

学生兴致勃勃的展开议论

学生义愤填膺，跃跃欲试，爱国之情溢于言表

学生面对实际问题能主动尝试从数学的角度运用数学知识和方法，寻求解决问题的策略，进一步体会数学的应用价值，使学生对数学的学习保持长久的热情
（五）
归纳
小结
引申
思考
课堂小结
（一）学生小结
（二）教师小结
1、双曲线定义中的关键词
2、方程的结构特点
3、体会类比思想

教师给予必要的指导，激励

学生互相补充完善

既能理清知识结构，使知识形成体系，并使学生体会类比的数学思想，又能从能力情感等方面关注学生对课堂的整体感受
（六）布置
作业
一、课本108页1、3
二、研究性作业
给你一条拉链，你能画出双曲线吗

学生课后完成
进一步巩固所学，并调动学生的积极性，培养学生的创造性
（七）

板
书
设
计
双曲线及其标准方程
一、双曲线的定义
1、定义 例1
2、理解
（1）符号表达：||MF1|—|MF2||=2a
（2）差的绝对值：两支，
差：一支
（3）条件：2a<2c=|F1F2|
二、双曲线的标准方程
1、 焦点在x轴上，方程形式：

2、 焦点在y轴上，方程形式：

浓缩知识
突出重点
条理清晰
便于记忆

（八）

教学

反思
一、成功之处 ：
1.“绿色”教学还其知识的本来面目
2.人文教学，促进学生的全面发展
3.问题教学，倡导“研究性学习”方式
4.恰当运用多媒体
二、精彩之处：
1.引课精彩 2.结束语精彩
三、不足之处：
1、问题的提出 2、教师的心态过急
3、数学思想（或数学意识）是在潜移默化中形成的
四、教学机智：
1.学生在解决实际问题时提出疑问
2.教师机智的引导，学生灵活运用所学知识解决了实际问题
五、学生创新
1. 在解决引例的过程中，学生能够运用动点M符合的条件，得到两条曲线。
相对前面学过的轨迹图形来说，这是一种创新。
2. 通过类比椭圆，学生能够独立探究出由于双曲线定义中常数范围的不同，
所得的轨迹图形也不同，体现了思维的深刻性。
六、再教设计
1、 借助多媒体展示生活中可见到的自然通风塔，让学生观察其外部形状，
引发学生的探究意识，然后再展示引例
2、 推导出方程并充分认识方程后，教师不要过多引导、过多参与，只需提出
问题“双曲线标准方程的结构特征是什么？”