空间曲线及其方程.doc

第1章 集 合第7节空间曲线及其方程7.1 空间曲线的方程1曲线的一般方程空间曲线可以看作是两张曲面与的交线（图7.1）设与的方程分别是与。曲线的充要条件是的坐标满足方程组(7.1)因此，(7.1)是曲线的方程，称为曲线的一般方程例如表示柱面与平面的交线（图7.2）图7.2图7.1z【例7.1】以下方程分别表示怎样的曲线？(1) (2) .解 (1)方程组 可化为,其中第一个方程表示中心在原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点为中心，半径为圆周的圆柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.3) 图7.3 图7.4(2) 方程组中第一个方程表示顶点在坐标原点,开口向上的旋转抛物面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点(0,2)为顶点，开口向下的抛物线的抛物柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.4)2曲线的参数方程空间曲线也可以用参数方程来表示。把曲线上的动点的坐标分别表示成参数的函数, (7.2)方程组(7.2)叫做曲线的参数方程 曲线的参数方程(7.2)的意思是：当参数跑遍时，动点正好跑遍曲线。当给定时，由(7.2)式就得到曲线上的一个点。【例7.2】如果空间一点在圆柱面上以角速率绕轴旋转，同时又以线速率沿平行于轴的正方向上升，其中，都是常数，点的轨迹曲线叫螺旋线，试建立其参数方程解 取时间为参数,设当时，动点与轴上的点重合，经过时间，动点由运动到记在面上的投影为图7.5由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，从而.又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以因此，螺旋线的参数方程为.令，则方程形式可化为，（为参数）螺旋线是一种常见的曲线.比如螺丝钉的螺丝曲线就是螺旋线. 与平面曲线情形类似，参数方程消除参数t就得到一般方程；空间曲线的一般方程也可以化为参数方程下面用例子说明曲线一般方程化为参数方程的方法。【例7.3】将空间曲线 表示成参数方程解 由方程组消去得,变形得.由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示.如果令，由椭圆柱面方程,有，而,则曲线又可表示成为.（如果以作为参数，即令 ,则,从而得到曲线的参数方程,且参数的取值范围为 ,即）也可以把空间曲线的参数方程化为一般方程, (7.2) (7.2)消除参数，例如，从(7.2)的第一个等式解出，再代入其他两个等式，就得到与(7.2)等效的一般方程7.2空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线,母线平行于轴的柱面叫做对面的投影柱面. 投影柱面与面的交线叫做在面的投影曲线.(7.1)设空间曲线的一般方程由(7.1)给出。方程组(7.1)消去变量之后得到方程. (7.3)(7.1)与或是等效的，都是的方程。(7.3)是准线为，母线平行于轴的柱面，从而是对面的投影柱面.故，在面的投影曲线是 (7.4)类似地，消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.【例7.4】求曲线在面和面上的投影曲线方程图7.6解 先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组中消去，得，将其代入第一个方程得到,这是曲线对面的投影柱面的方程从而得曲线在面上的投影曲线,为一椭圆:.再由所给方程组消去.将两方程相减,得到曲线对面的投影柱面:,从而得曲线在面上的投影曲线:,（从原方程组的第一个方程看出）它表示面上的一条直线段.如图7.6所示思考题：1试求例7.4中曲线在面上的投影曲线有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域利用投影柱面与投影曲线可以确定投影区域.图7.7【例7.5】求上半球面和锥面 所围成的空间立体在面上的投影区域解 的边界（抓住边界！）是上半球面与锥面的交线:在面上的投影。由方程组消去变量，有.这是母线平行于轴的投影柱面，在面的投影曲线为:,这是一个圆，它所包围的区域为,就是立体在面上的投影区域，如图7.7所示【例7.6】作出由不等式所确定的区域及其在面及上的投影区域的简图.解 画出的边界曲面：，就可围得。方程表示过点和,且平行于轴的平面（因此就表示以此平面为边界且包含原点的那个半空间）；方程表示以轴为轴，半径为1的圆柱面（故表示这个圆柱面及其内部）圆柱面与平面的交线分别为：图7.8圆弧,直线段,即,椭圆弧.平面与平面的交线分别为直线段；直线段，画出这五条交线，就得到区域的简图(图7.8)交线,在面上的投影分别为：轴上直线段，轴上直线段，面上直线段由,所围成的区域即在面上的投影区域，类似可求得在上的投影区域习题87A类1画出下列曲线在第一卦限内的图形：*(1) *(2) (3) (4) 2把下列曲线方程转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程：(1) (2) 解 （2）消去得。消去得。所要求的曲线方程：。3求下列曲线在面上的投影曲线的方程：(1) ; (2) .解 （2）消去得。所要求投影曲线方程：。4求曲线在面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？5将下列曲线的一般方程转化为参数方程：(1) *(2) *(3) 解 （2）由，令。在曲线上，。所要求的参数方程：。6求下列曲面所围成的立体在面上的投影：(1), (2) .B类1求空间曲线的参数方程.*2已知空间曲线 .(1) 求证它在一个平面上,且求所在平面的方程;(2) 求此空间曲线的一般方程.3求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程：(1) (2) *(3) *4求曲线,在平面的投影曲线的方程：5求下列曲面所转成的立体在三个坐标面上的投影：(1) 与 (2) ，所围.13