空间曲线及其方程.doc

第1章 集 合
第7节　空间曲线及其方程
7.1 空间曲线的方程
1　曲线的一般方程
空间曲线可以看作是两张曲面与的交线（图7.1）．设与的方程分别是与。曲线的充要条件是的坐标满足方程组
．　　　　　　　　　　　　　　　(7.1)
因此，(7.1)是曲线的方程，称为曲线的一般方程．
例如表示柱面与平面的交线（图7.2）．

图7.2

图7.1

z

【例7.1】　以下方程分别表示怎样的曲线？
(1) (2) .
解 (1)方程组 可化为,其中第一个方程表示中心在原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点为中心，半径为圆周的圆柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.3)．

图7.3 图7.4
(2) 方程组中第一个方程表示顶点在坐标原点,开口向上的旋转抛物面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点(0,2)为顶点，开口向下的抛物线的抛物柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.4)．

2　曲线的参数方程
空间曲线也可以用参数方程来表示。

把曲线上的动点的坐标分别表示成参数的函数
,　　　　　　　　　　　　　 (7.2)
方程组(7.2)叫做曲线的参数方程．
曲线的参数方程(7.2)的意思是：当参数跑遍时，动点正好跑遍曲线。
当给定时，由(7.2)式就得到曲线上的一个点。

【例7.2】　如果空间一点在圆柱面上以角速率绕轴旋转，同时又以线速率沿平行于轴的正方向上升，其中，都是常数，点的轨迹曲线叫螺旋线，试建立其参数方程．
解 取时间为参数,设当时，动点与轴上的点重合，经过时间，动点由运动到．记在面上的投影为．

图7.5

由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，，从而

.
又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以．因此，螺旋线的参数方程为
.
令，则方程形式可化为
，（为参数）
螺旋线是一种常见的曲线.比如螺丝钉的螺丝曲线就是螺旋线.
与平面曲线情形类似，参数方程消除参数t就得到一般方程；空间曲线的一般方程也可以化为参数方程．下面用例子说明曲线一般方程化为参数方程的方法。
【例7.3】　将空间曲线 表示成参数方程．
解 由方程组消去得
,

变形得
.
由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示
.
如果令，由椭圆柱面方程,有，而
,
则曲线又可表示成为
.
（如果以作为参数，即令 ,则
,,
从而得到曲线的参数方程
,
且参数的取值范围为 ,即．）
也可以把空间曲线的参数方程化为一般方程．
,　　　　　　　　　　　　　 (7.2)
(7.2)消除参数，例如，从(7.2)的第一个等式解出，再代入其他两个等式，就得到与(7.2)等效的一般方程

7.2　空间曲线在坐标面上的投影
以空间曲线为准线,母线平行于轴的柱面叫做对面的投影柱面. 投影柱面与面的交线叫做在面的投影曲线.
．　　　　　　　　　　　　　　　(7.1)
设空间曲线的一般方程由(7.1)给出。方程组(7.1)消去变量之后得到方程
. (7.3)

(7.1)与
或
是等效的，都是的方程。
(7.3)是准线为，母线平行于轴的柱面，从而是对面的投影柱面.故，在面的投影曲线是
　　　 (7.4)
类似地，消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：
.
消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：
.
【例7.4】　求曲线

在面和面上的投影曲线方程．

图7.6

解 先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组

中消去，得，将其代入第一个方程得到
,
这是曲线对面的投影柱面的方程．从而得曲线在面上的投影曲线,为一椭圆:
.
再由所给方程组消去.将两方程相减,得到曲线对面的投影柱面:
,
从而得曲线在面上的投影曲线:
,（（从原方程组的第一个方程看出））
它表示面上的一条直线段.如图7.6所示．
思考题：
1．试求例7.4中曲线在面上的投影曲线．
有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域．利用投影柱面与投影曲线可以确定投影区域.

图7.7

【例7.5】　求上半球面和锥面 所围成的空间立体在面上的投影区域．
解 的边界（抓住边界！！）是上半球面与锥面的交线:

在面上的投影。由方程组消去变量，有
.
这是母线平行于轴的投影柱面，在面的投影曲线为:
,
这是一个圆，它所包围的区域为,就是立体在面上的投影区域，如图7.7所示．
【例7.6】　作出由不等式

所确定的区域及其在面及上的投影区域的简图.
解 画出的边界曲面：，就可围得。方程表示过点和,且平行于轴的平面（因此就表示以此平面为边界且包含原点的那个半空间）；方程表示以轴为轴，半径为1的圆柱面（故表示这个圆柱面及其内部）．圆柱面与平面的交线分别为：

图7.8

圆弧,
直线段,即,
椭圆弧.
平面与平面的交线分别为
直线段；直线段，
画出这五条交线，就得到区域的简图(图7.8)．
交线,,在面上的投影分别为：
轴上直线段，轴上直线段，面上直线段
由,,所围成的区域即在面上的投影区域，类似可求得在上的投影区域．
习题8－7
A类
1．画出下列曲线在第一卦限内的图形：
*(1) *(2)
(3) (4)
2．把下列曲线方程转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程：
(1) (2)
解 （2）消去得。消去得。所要求的曲线方程：。
3．求下列曲线在面上的投影曲线的方程：
(1) ; (2) .
解 （2）消去得。所要求投影曲线方程：。
4．求曲线在面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？
5．将下列曲线的一般方程转化为参数方程：
(1) *(2) *(3)
解 （2）由，令。在曲线上，。所要求的参数方程：
。
6．求下列曲面所围成的立体在面上的投影：
(1),
(2) .
B类
1．求空间曲线的参数方程.
*2．已知空间曲线 .
(1) 求证它在一个平面上,且求所在平面的方程;
(2) 求此空间曲线的一般方程.
3．求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程：
(1) (2) *(3)
*4．求曲线,在平面的投影曲线的方程：
5．求下列曲面所转成的立体在三个坐标面上的投影：
(1) 与 (2) ，所围.
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