平面、空间直线及其方程.doc

一、向量的向量积：

二、平面及其方程
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点和它的一个法线向量，对平面上的任一点，有向量n，即

代入坐标式，有：
此即平面的点法式方程。
【求平面方程的方法】

二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：

几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面。
同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于轴或轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为，法线向量，方程表示一个平行于面的平面。
同理：和分别表示平行于面和面的平面。
4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一个平面，该平面的法向量为
例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
解：设平面为，由平面过原点知　
由平面过点知　　，

所求平面方程为

三、空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：

二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：

此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。

如设

就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）

三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程．
解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为
x= -1+3t y=1+2t z=-t
并代入上面的平面方程中去，求得t＝，从而求得交点为．
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量：

故所求直线方程为