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数理方程在热传导中的应用

摘要：本文先简要介绍了作者的研究方向，然后从实际问题中提取出来一个经过简化的热传导问题，并且运用分离变量法对此问题进行了求解，得出简单的二维热传导问题可以采用分离变量法求解出指定边界条件下的物体的温度场分布，但是对于复杂的边界条件或者是复杂的二维热传导方程一集三维热传导方程，运用分离变量法手算出结果是很难实现的，这时可以采用matlab编程或者是运用一些有限元软件模拟出试件的温度场。
关键字：数理方程；热传导；温度场；钢管混凝土
Abstract：First,this article briefly describes the author's research direction, and then extracted from the real problems out of a simplified heat conduction problems, and the use of the separation of variables to solve this issue, draw simple two-dimensional heat conduction problem can be solved using the method of separation of variables the specific object under boundary conditions of temperature distribution, but for plex boundary conditions or plex a set of two-dimensional heat conduction equation dimensional heat conduction equation, separation of variables using hand calculation result is difficult to achieve, then you can use matlab programming or use of some finite element software to simulate the temperature field of the specimen.
Key words:Mathematical Equations; Heat Conduction; Temperature Field; CFST

顾名思义，钢管混凝土就是在钢管中填充混凝土的构件，钢管混凝土的钢管及其中填充的核心混凝土能共同承受外荷载的作用。【1】钢管混凝土构件在受力的过程中,由于钢管与核心混凝土之间的相互作用和协同互补,从而使得两种材料的工作性能得到改善。其中,外钢管的约束作用使核心混凝土的强度得以提高,塑性和韧性得到改善,而内部核心混凝土的存在改变了外钢管的屈曲模态,有效的提高了钢管的稳定性。这种相互作用使钢管混凝土获得了一系列优越的力学性能,符合现代结构向高耸、大跨、重载和在恶劣的环境条件下保持工作性能良好方向发展的需求。【1,2】
钢管混凝土具有的诸多优点使其在实际工程中得到了较为广泛的应用，随着应用越来越广泛，对钢管混凝土的研究也越来越深入、越来越全面。以往对钢管混凝土的研究大多集中于研究钢管混凝土结构的静力和动力性能。【3,4,5】也有些人研究钢管混凝土的腐蚀【6】和低温破坏【7】等耐久性问题。中国地域辽阔温度分布不均匀东北华北西北冬季较为寒冷最低气温可达-50℃混凝土结构的冻害现象普遍存在，同时随着钢管混凝土越来越多应用于桥梁工程和房屋建筑，其耐久性问题如抗盐溶液侵蚀性能抗冻性能也逐渐受到学者们的关注。近年发生的多起钢管混凝土在施工阶段或使用阶段受冻破坏的工程事故【8,9,10】表明即使受到外钢管的保护严寒天气等恶劣环境依然能对核心混凝土造成损伤并导致钢管混凝土结构破坏目前仅有少数规程在参考混凝土相关规范的基础上对钢管混凝土结构的冬季施工提出了相应的规定【11】，目前关于钢管混凝土抗冻性能研究的报道较少。由上述可知，目前对冻融循环作用后钢管混凝土力学性能的研究较少。
受冻融循环作用下的钢管混凝土温度场以及受力分析比较复杂，在这里，我仅仅对冻融作用下钢管混凝土中的一个侧面钢板的热传导问题进行简要的研究分析。对于如下图1所示的钢板，将其简化为二维模型，钢板的尺寸大小如图1所示。假设钢板是均质

图1
且各向同性的理想导热体，当t=0时，钢板的初始温度场为0℃，此时在钢板的上边界加载一个20℃的恒定边界温度，求达到稳恒状态时钢板的温度场分布。
热传导问题达到稳恒状态时温度与时间无关，求达到稳恒状态时钢板的温度场分布即求解下列定解问题：

式中，为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，为常数；为物体的比热，为物体的密度。
这里采用分离变量法来解这个问题。首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解，设

代入定解问题的第一个方程得：

或：

这个式子左端仅仅是x的函数，右端仅仅是y的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等，令此常数为，则有：

这样我们可以得到两个常微分方程：
（式1）

（式1）

解（式1）得：

由边界条件可知：

从得：
从得：
由于，故，即

从而求得了一系列特征值与特征函数：
，

与这些特征值相对应的（式2）的通解为：

于是我们可以得到满足二维热传导方程以及边界条件的一组变量被分离的特解：

其中，,是任意常数。到现在为止，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足二维热传导方程又满足边界条件的无穷多个解。为了求得原定解问题的解，还需要满足剩下的一组边界条件，由上式所确定的一组函数虽然已经满足二维热传导方程以及第一组边界条件，单不一定满足第二组边界条件，为了求出原定解问题的解，首先我们将满足二维热传导方程以及边界条件的特解中所有函数叠加起来，得：
（式3）

由叠加原理可知，如果上式右端的无穷级数是收敛的，而且关于x，y都能逐项微分两次，则它的和也满足二维热传导方程以及第一组边界条件。现在我们要适当的选择和，使得函数也满足第二组边界条件，为此我们有：
（式4）

（式5）

由（式4）可知，由于不恒等于0，则有：

则（式5）可化为：

所以只要选取为20这个常数的傅里叶正弦级数展开式的系数就可以使得上述等式满足第二组边界条件，也就是：

将求出的代入（式3）得：
（式6）

所得到的（式6）即为原定解问题的解。
由上述计算可知，对于经过简化的二维热传导问题可以采用分离变量法求解出指定边界条件下的物体的温度场分布，但是对于复杂的边界条件或者是复杂的二维热传导方程一集三维热传导方程，运用分离变量法手算出结果是很难实现的，这时可以采用matlab编程或者是运用一些有限元软件模拟出试件的温度场。参考文献：
【1】韩林海.钢管混凝土结构一理论与实践(第2版)[M].北京：科学出版社，2007.
【2】韩林海.杨有福.现代钢管混凝土结构技术(第2版)[M],北京：中国建筑工业出版社.2007.
【3】Han Lin-hai. Steel Tubular Structures-Theory and Practice.[M] Beijing: Science Press.2007.
【4】ZHAO X L,HAN L H,LU H.Concrete-filled Tubular Members and Connections [M].London: Spon Press,2010.
【5】陈宝春．钢管混凝土拱桥[M]2版．北京：人民交通出版社，2007．
【6】HAN Lin-hai,HOU Chao, WANG Qing-li.Square Concrete Filled Steel Tubular (CFST) Members Under Loading and Chloride Corrosion:Experiments[J].Journal of Constructional Steel Research,2012.
【7】王玉银,王庆贺,刘昌永．钢管混凝土柱低温开裂典型事故分析[J]．哈尔滨工业大学学报,2012.
【8】王佩琼，汤跃超，毛忠艺．钢管混凝土结构纵裂破坏研究与加固处理[J]．工业建 筑，2005.
【9】尹子峰，杨冶．钢管混凝土结构在冶金重型工业厂房中的应用[J]．钢结构，2002.
【10】黄明，朱铁松，刘俊禹，等．厂房钢管混凝土柱冬施质量通病及处理[J]．混凝土，2008.
【11】DB21/T 1746-2009,钢管混凝土结构技术规程[S]．