新北师大版第五章分式与分式方程导学案.doc

第五章　分式与分式方程
第一节 认识分式（一）
一、学习准备
1、分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果 中含有字母，那么我们称为__________ w W w . K b 1.c o M
2、分式与整式的区别：分式一定含有分母，且分母中一定含有 ；而整式不一定含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。
3、分式有意义、无意义或等于零的条件：
（1）分式有意义的条件：分式的 的值不等于零；
（2）分式无意义的条件：分式的 的值等于零；
（3）分式的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不等于零；
4、阅读教材：第一节《认识分式》
二、教材精读
5、理解分式的概念

分析：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。
提示：是一个常数，而不是字母。
解：

注意：理解分式的概念，应把握以下三点：（1）分式中，A、B是两个整式，它是两个整式相除的商，分数线由括号和除号两个作用，如可以表达成；（2）分式中B一定含有字母，而分子A中可以含有字母，也可以不含字母；（3）分式中，分母的值是零，则分式没有意义，如分式中，
6、
分析：根据分式有意义的条件进行计算，此题即为求分母不等于零时x 的取值范围。

三.合作探究
7、 下列代数式：，，，，，，其中是分式的有：_________________________________ _________.
8、当x取何值时，下列分式有意义？

9、当x取何值时，下列分式无意义？

10、当x取何值时，下列分式的值为零？

w W w . K b 1.c o M

四.课堂检测
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
①5x－7，②3x2－1，③，④，⑤，⑥，⑦答：______________________________.（填序号）
2、当x取何值时，分式无意义？新|课 |标|第 |一| 网

3、当x为何值时，分式 的值为正？

4、若分式的值为零,则x的值是____________。
五.小结评价
一、 本课知识点：
1、分式的概念：__________________________________________________________________
2、分式有意义、无意义或等于零的条件：
（1）分式有意义的条件：分式的 的值不等于零；
（2）分式无意义的条件：分式的 的值等于零；
（3）分式的值为零的条件：分式的 的值等于零，且分式的 的值不等于零；

第一节 分式（二）
一、 学习准备
1． 分式的基本性质：分式的 和 都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用字母表示为：，（M是整式，且M≠0）。
2．约分：
（1）概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为__________
（2）约分的关键：找出分子分母的公因式；
约分的依据：分式的基本性质；
约分的方法：先把分子、分母分解因式（分子、分母为多项式时），然后约去它们的公因式，约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式。
3．最简分式：分子与分母没有____________的分式叫做最简分式。

二、教材精读
分析：解有关分式恒等变形的填空题，一般从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再把未知项作相应的变形。本题中是隐含条件。

注意：（1）要深刻理解“都”与“同”的含义，“都”的意思是分子与分母必须同时乘（或除以）同一个整式，“同”说明分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同一个整式。
（2） 在分式的基本性质中，要重视这个条件，如，隐含着这个条件，所以等式是正确的，但，分子、分母同乘y，由于没有说明这个条件，所以这个等式变形不正确。
（3） 若原分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子或分母用括号括上，再乘或除以整式M，如：。
（4）分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如：;若只改变其中一个的符号或三个符号，则分式的值变成原分式的值的相反数，如.
三.合作探究
4、填空：(1) = (2) =
（3) = (4) =
5、约分：（1） （2） （3） （4）

6、代数式①，②，③，④中，是最简分式的是___________________ .（填序号）

四.课堂检测
1、填空：
（1） （2）
2、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1) (2) （3) (4)
解：

3、判断下列约分是否正确：
（1）=（ ） （2）=（ ） （3）=0（ ）
4、把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值变为原来的 倍。
5、⑴化简分式 ⑵已知，求的值。

第二节 分式的乘除法

一、学习准备
1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。X| k | B | 1 . c|O |m
2、分式乘除法运算步骤和运算顺序：
（1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。
（2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。
二、教材精读
3、
分析：（1）题中分子、分母都是单项式，可直接运用法则计算；（2）应先分解因式，然后约分，但需注意符号的变化。

三. 合作探究
4、计算：
（1） （2） （3）

（4） (5) (6)

5、计算：

四.课堂检测
1、计算：（1） （2） （3）

（4） （5）

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2、计算： (1) (2)

(3) (4)

五. 小结评价
分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。
第三节 分式加减法（一）

一、 学习准备
1、同分母分式相加减：
（1）法则：同分母的分式相加减， 不变，把 相加减。
（2）注意：①字母表示为：。
②“分子相加减”是各个分式的“分子整体”相加减，即各个分子都应有括号。当分子为单项式时，括号可以省略；当分子为多项式时，括号不能省略。
③分式加减运算的结果，必须化为最简分式或整式。
2、分式的通分：
（1）概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的________。
（2）通分的方法：先求各分式的_____________-，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘相应分式的分子、分母；
（3）通分的依据：________________________。
二、教材精读
3、进一步理解同分母的分式相加减的法则：w W .X k b 1. c O m

分析：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果要化成最简分式或整式；（2）因为，把分式化成同分母后，依同分母分式加减法法则运算。

确定最简公分母的一般步骤：
①取各分母的系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的；
④如果分母是多项式，一般应先分解因式。

4、 通分：

分析：通分的关键：确定几个分式的最简公分母。

三.合作探究
5、分式，，的最简公分母是

6、计算：(1) (2)

四.课堂检测
1、通分：（1）和 （2）和 （3）和

2、计算：（1） （2）

（3）

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五.小结评价
1、同分母分式相加减：法则：同分母的分式相加减， 不变，把 相加减。
2、分式通分的概念：根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的____________。

第三节 分式加减法（二）
一、 学习准备：
1、异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
2、分式的混合运算：
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘除，后算加减，遇有括号，先算括号内的。w W .X k b 1. c O m
3、确定最简公分母的一般步骤：①取各分母的_________的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取__________________的；
④如果分母是多项式，一般应先__________________________________。
二、教材精读：
3、进一步理解异分母分式的加减法法则
分析：先找最简公分母，再通分把它们化成同分母分式，然后再相加减。

三.合作探究
4、 （2）

5、
6、用两种不同的运算顺序计算

7、计算：

四.课堂检测
1、计算：（1） （2） （3）

2、计算：（1） （2） （3）

3、计算： (1) (2)

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五. 小结评价
异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

第四节 分式方程（一）
一、 学习准备：
1、分式方程的概念： 中含有未知数的方程叫做分式方程；
2、判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数；
3、与整式方程的区别：分母中是否含有______________；
4、列分式方程解应用题。
二、教材精读：新|课 |标|第 |一| 网
5、进一步理解分式方程
例1 中是分式方程的有（ ）
A．2个 B.3个 C.4个 D.5个
6、例2 甲、乙两地相距1500km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？
解：

三.合作探究
6、例2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为4900元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？____________________________________________________（列出方程）
四.课堂检测
1、A、； B、 ；C、中，（  ）是分式方程,（  ）是整式方程。理由：___ ______。

2、判断下列方程中哪些是分式方程？
（1） ； （2）； （3） ；
（4） ； （5）； （6）；
（7）；（8）答： ___________ 。（填序号）

3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？w W .X k b 1. c O m
解：设
列出方程为： 。

五.小结评价
1、分式方程的概念： 中含有未知数的方程叫做分式方程；
2、判断分式方程的条件：___________________________________.
六、我的困惑：

第四节 分式方程（二）
一、 学习准备：
1、解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为 ；
（2）解这个整式方程；新- 课- 标- 第 -一 - 网
（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的 ，使最简公分母的值等于零的根是原方程的 。
2、增根
（1）概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；
（2）认识增根：①增根是去分母后所得 的根；
②增根使最简公分母的值为 ；
③增根 （填“是”或“不是”）原方程的根。
二、 教材精读：
3、进一步理解如何解分式方程
例1 解方程
解：方程两边都乘________________，得_______________________________________.
解这个方程，得_____________________________________________________________
检验：将_________________________，得_______________________________________
所以________________________________________________________________________

例2 解方程：
解：方程两边都乘________________，得_______________________________________.
解这个方程，得______________________________________________________________
检验：将_________________________，得_______________________________________
所以________________________________________________________________________

三.合作探究
4、 解分式方程
解：方程两边都乘________________，得_______________________________________.
解这个方程，得______________________________________________________________
检验：将_________________________，得_______________________________________
所以________________________________________________________________________
5、若方程有增根，求m的值。
分析：若分式方程有增根，则最简公分母必须等于零，由此我们可以找出所有可能的增根，再利用增根满足整式方程，列出关于m的方程，求出m的值即可。

四.课堂检测
1、关于x的方程有增根，则增根只能是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
2、关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A、1 B、0 C、 D、
3、解下列方程：w W w . K b 1.c o M
（1） (2) （3）

4、当为何值时，关于x的方程有增根。

五.小结评价
1、解分式方程的一般步骤：___________________________________________________
2、什么是增根：_____________________________________________________________
六、我的困惑：

第四节 分式方程（三）

一、 学习准备：
1、列分式方程解应用题的一般步骤：
（1） ：审清题意；
（2） ：设未知数；
（3） ：找出等量关系；新|课 |标|第 |一| 网
（4） ：列出分式方程；
（5） ：解这个分式方程；
（6） ：检验，既要验证根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
（7） ：写出答案。
2、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别：
列分式方程解应用题时要注意 ，既要验证求出的未知数的值是否是所列分式方程的根，又要检验根是否 。
二、 教材精读：
3、例1 甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？
分析：等量关系是：甲用的时间与乙用的时间相等。
解题方案：
解：设甲每天加工个玩具，则乙每天加工（ ） 个玩具，
①甲加工90个玩具所用的时间为_______，乙加工120个玩具所用的时间为_______；
②根据题意,列出相应方程__________________；
③解这个方程得___________；
④检验： ____________；
⑤答：甲每天加工________个玩具，乙每天加工_________个玩具。
三.合作探究
4、例2 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。已知小丽家今年7月的水量比去年12月的用水量多5，求该市今年居民用水的价格。
分析：此题的主要等量关系是：____________________________________________________
解：设该市去年居民用水的价格为x元/，则今年的水价为______________元/，
根据题意，得

四.形成提升
1、 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？

2、某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格？

3、 （2012.广西桂林中考）李明到离家2.1km的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42min，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1min，然后立即骑自行车（匀速）返回学校。已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20min，且骑自行车的速度是步行速度的3倍。
（1） 李明步行的速度（单位：m/min）是多少？
（2） 李明能否在联欢会开始前赶到学校？
分析：此题的主要等量关系是：_____________________________________________________

五.小结评价
列分式方程解应用题的一般步骤：________________________________________________
六、我的困惑：新课 标 第 一 网