函数单调性.doc

函数的单调性教案

设计理念
本节课是一节概念课．函数单调性是用解析的方法来刻画函数图像的性质，如何将图像特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．
围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：
1、重视学生的亲身体验：（1）从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，引出单调性的定义；（2）将新知识与初中已学过的知识建立了联系。以一次函数、二次函数和反比例函数为例加深对函数单调性的理解；（3）运用函数单调性知识尝试解决新问题，如：对函数在定义域上的单调性的讨论，对所学知识进一步深化。
2、重视学生参与发现、掌握知识的过程．
3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．
教材内容
本节课是人教（A）版第一章《集合与函数概念》§1．3．1函数的基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用函数单调性的定义解决一些简单问题．
教学目标
（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。
（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。
重点与难点
教学重点（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性．
　 教学难点（1）函数单调性的概念形成；
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性．
学情与教材分析
函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图像上直观观察图像的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此我在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明是教学中的难点.
函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。
教法分析与学法指导
教法：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生学习的参与性与积极性．2、在运用定义解题的过程中，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理、完成的书面表达．
学法：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．
教学过程
一、问题情境：
35
25
4
14
24
15

三明市天气预报：2007年7月15日  星期天 阵雨转雷阵雨35℃～25℃ 微风。上图为三明市这一天24小时内的气温变化的大致图，观察这张气温变化图：
问题：观察图形，能得到什么信息？
（预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.）
追问：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？
问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
问题3 在区间［4，15］上，气温是否随时间增大而增大？
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
（预设：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．）
归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
[设计意图：从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．]
二、定义形成：
1、对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，
通过对以上问题的分析，师生共同总结出单调增函数的定义。
注意定义中的关键词：区间A内，任意两数、，当<时，都有<．
2、仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．
3、介绍单调性和单调区间的定义．
[设计意图：函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．]
三、定义运用：
1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？
2、运用函数单调性的定义，判断下列函数的单调性美并证明你判断的结论．
（1）；
（2）；
（3）．
板演学生的证明，纠正出现的问题，规范证明的格式．
思考：（1）能说函数在上是减函数吗？
（2）能说函数在上是减函数吗？
3、请学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④判断．
强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
[问题1利用函数的图象判断函数的单调性和单调区间，即图象法. 问题2先从“形”上去判断单调区间和单调性，再回归定义去，从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路，而定义是最终解决问题的基础．规范解题过程、总结解题步骤是知识和方法的提炼，也是对学生学习的指导.]
四、问题讨论：
问题 讨论函数的单调性．
实际问题 在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？
由图像探索函数的单调区间，再运用定义严密证明函数的单调性．“糖水问题”实际上是函数的一个实际背景．
[从定向性的证明，到自我探索单调区间完成证明，是一个很大的跨越，但在此探索过程中，学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证，体会到成功解决问题的快乐．生活实际问题的提供体现了数学来源于生活，也用于解决生活中的问题。]
五、课堂小结：
1、函数单调性的定义．2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义．
函数的单调性是函数的局部性质，它反映了函数定义域内某个区间上函数值的增减变化和图象的升降趋势．以后我们将继续学习运用函数的单调性解决数学问题及生活实际问题．
六、作业布置：
1、阅读课本P29例2
2、书面作业：教材 p39 1、2、3
3、补充作业
（1）若定义在R上的单调减函数满足，你知道的取值范围吗？
（2）二次函数在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母的值吗？