函数与导数.docx

函数与导数
1．已知为奇函数，函数与的图像关于对称，若，则（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】C
【解析】
试题分析:由题设可得.故应选C.
考点：互为反函数的性质及运用.
2．设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵，∴，令，，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数；故；则实数的最小值为故选C．
考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性转化与化归思想，将不等式有解转化为恒成立为题，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
3．函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【解析】
试题分析：函数的定义域为，，故函数为奇函数，其图象关于原点对称，故应排除B、C；，
，由，则排除D；故选A.
考点：函数的图象.
4．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设，则，∵为奇函数，当时，，∴，∴，∴且，∴曲线在处的切线方程是．故选B．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.
5．已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【解析】
试题分析:因当时,,故当时,或,由题设可知当,即时,关于的方程有个不同实数解．故应选C．
考点：函数的图象、方程的根的个数、基本不等式等知识的综合运用．
【易错点晴】函数方程思想是高中数学中重要的数学思想和常用的数学思想之一,本题以分段函数为背景,设置了含的方程有个不同实数解的充要条件的综合问题．考查是借助基本初等函数的图象和所学知识去分析问题和解决问题的能力．求解时要充分借助题设条件与题设信息,运用函数方程思想与化归转化的数学思想,先运用基本不等式求得,继而分析探求,使得问题获解．
6．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域是，则成为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】A
【解析】
试题分析: 由题设可且,故方程有两个不等的实数根,即有两个不等的实数根,令,则在有两个不等的实数根,因,故当时,函数与有两个不同交点,应选A．
考点：函数方程思想及化归转化思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】函数方程思想与转化化归的数学思想都是高中数学中常用的数学思想,本题以新定义的“倍缩函数”为背景,考查是借助函数方程思想及化归转化思想等知识和方法及所学知识去分析问题和解决问题的能力．求解时要充分借助题设条件及新定义的信息,合理运用函数方程思想及转化化归思想将问题转化为方程在有两个不等的实数根想,再运用函数方程思想求出函数的值域,从而使得问题巧妙获解．
7．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析:因,故当时,,函数单调递减；故当时,,函数单调递增,且,故,则,故应选D．
考点：导数与函数的单调性之间的关系及运用．
8．已知函数与的图像如下图所示，则函数的递减区间为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：结合图象，和时，，而，故在,递减，故选：D．
考点：函数的单调性.
9．已知函数的图像上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：时，；时，.设且，当或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为，即当时，函数在点处的切线方程为，即，两切线重合的充要条件是，且，消去得：，令，则，构造函数，，，，所以在单调递减，在单调递增，又所以，所以在单调递减，所以，即，故选C.
考点：导数的几何意义.
【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及函数的值域问题，属于难题. 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
10．设，若函数为奇函数，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，故，逐个检验选项，带入显然满足题意，故选B.
考点：定积分与函数的表达式及奇偶性.
11．函数图象大致是（ ）

【答案】A
【解析】
试题分析:由偶函数的定义可知函数是偶函数,且当时,,故应选A.
考点：函数奇偶性及图象的对称性的综合运用.
12．幂函数的图象经过点,则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设,由已知有,所以,所以,则,选B．
考点：幂函数定义．
13．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为,而,所以,又,所以,即,所以有,选C．
考点：比较对数大小．
【易错点睛】本题主要考查了比较对数大小,属于易错题． 用公式把换成同底对数,利用对数的单调性进行比较大小,并且求出范围,用对数单调性求出的范围,再比较出它们的大小来． 本题易错的地方: 对对数的性质不熟悉,不会用公式转化为同底,利用单调性进行比较大小,比较大小时,注意中间量．
14．函数的零点所处的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，由零点存在性定理知，函数的零点在内，选B．
考点：零点存在性定理．
15．已知函数（）与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：两个函数存在关于轴的对称点，即有实根，即有实根，即左右两个函数在有交点，结合两个函数的图象可知当时有交点，故的取值范围是.

考点：函数的图象与性质.
【思路点晴】本题主要考查函数图象换和零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法.首先将已知“两个函数图象存在关于轴的对称点”，转化为有实根来求解，化简后得到有实根.先画出函数的图象，当时，，所以函数中的最大值为，由此求得.
16．已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）

【答案】A
【解析】
试题分析：，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D两个选项.令，，所以在时切线的斜率小于零，排除C，故选A.
考点：函数导数与图象.
17．函数是偶函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：函数为偶函数，故为奇函数，在内是增函数，，所以时，当时，，根据对称性，有当时，当时，.由此可知即为两者异号的解集为.
考点：函数的奇偶性与单调性.
18．已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，，则的最小整数解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以函数在内有零点，且在区间上，，函数递增，故只有唯一零点，左移个单位得到，依题意，函数所有零点都在区间上，所以使得的最小整数为.
考点：函数图象平移与零点.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数的图像是有函数的图像向左平移个单位所得.由于零点都在某个区间上，所以函数的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，，且函数递增，有唯一零点在区间，左移个单位就是.
19．已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：令，解得，，令，，导函数为增函数，且，所以函数在递减，递增，最小值为．

考点：用导数研究函数图象与性质．
【思路点晴】本题主要考查函数导数与单调性，函数导数研究图象与性质等知识．首先画出两个函数的图象，由此来理解题意“对，，使得”，根据图象，将问题等价变形为对于相同的函数值，两个函数对应的自变量的距离的最小值来求．构造函数后利用导数研究函数的单调性，由此求得最小值．

20．若函数则当时，函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：先作出函数的图象,如图所示.当时,令有,则或,当,存在两个零点;当时,存在两个零点,故函数的零点个数为.选D.

考点：根的存在性及个数判断.
【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数的草图，求函数的零点个数,就是求的根的个数,利用分段函数的解析式,得到或,再转化为函数与的图象的交点个数,或者转化为函数与的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想.
21．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.
考点：基本初等函数的图象.
22．已知定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知，令，得，为偶函数，，，，是周期为的周期函数．画出函数及的图象，可知当过点时，函数及的图象恰有两个交点，从而函数在上恰有两个零点，由，得，当时，函数在上至少有三个零点，故选B．

考点：函数的单调性、奇偶性，函数图象与性质.
【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性，周期性，函数图象与性质等知识点.首先根据题意求出，所以，所以函数的周期是.根据时，，画出函数的图象.令，变为两个函数图象的交点个数问题来研究.通过变换的值，结合图象，求得的取值范围.

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分

二、解答题
23．已知函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，是函数的两个零点，设，证明：随着的增大而增大.
【答案】(I) 函数的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值，无极大值；(II)证明见解析.
【解析】
试题分析：(I)借助题设条件运用导数知识求解；(II)依据题设运用导数与函数的单调性之间的关系进行推证.
试题解析：
（Ⅰ）当时，，，
令，则
则，，单调递减.
，，单调递增
所以函数的极小值，无极大值.
（Ⅱ）令，则，因为函数有两个零点，
所以，，可得，，
故
设，则，且解得，.
所以：，①令，，
则.令，得.
当时，.因此，在上单调递增，
故对于任意的，.
由此可得，故在上单调递增.
因此，有①可得随着的增大而增大.
考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的极值与单调区间,求解时运用求导法则分类讨论的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间和极值；第二问则通过转化与化归将问题进行转化,然后构造函数,运用求导法则及转化化归思想分析推证,使得问题获解.
24．已知函数．
（1）若当时，求的单调区间；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求出，令，解出的单调区间；（2）当时，显然成立；当时，存在使得，使得即可，即，令，由其单调性得，且，令，根据其单调性，求出其范围即可.
试题解析：（1）由题意得，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴的单调减区间是，单调增区间是．
（2）①当时，，显然符合题意；
②当时，，
对于，
∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得，即，∴当时，，当时，，
∴，
∵，∴，即，
由于在上是增函数，∴．
由得，
设，则，
∴ 函数在上单调递减，
∴
综上所述，实数的取值范围 .
考点：利用导数研究函数的单调性；恒成立问题.
25．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．
【答案】(1) 当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在单调递增，在单调递减；(2)；(3)证明见解析．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证．
试题解析：
（1）的定义域为，……2分
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；………………4分
当时，令，解得．
则当时，；时，．
故在单调递增，在单调递减．……6分
（2）因为，所以：
当时，恒成立，
令，则，……………………8分
因为，由得，
且当时，；当时，．
所以在上递增，在上递减，所以，
故．…………………………10分
(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得．
考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的单调区间,求解时分类对函数求导,分析探求出其单调区间；第二问先分析转化,再构造函数,运用导数的知识使得问题获解；(3)运用已知推证的结论构造不等式,从而使得不等式简捷巧妙获证．
26．“城市呼唤绿化”,发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分,某城市响应城市绿化的号召,计划建一如图所示的三角形形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙,长度为米,另外两边,使用某种新型材料围成,已知,,(,单位均为米)．

⑴求,y满足的关系式(指出,的取值范围)；
⑵在保证围成的是三角形公园的情况下,如何设计能使所用的新型材料总长度最短?最短长度是多少?
【答案】(1)；(2)当边长均为米时，所用材料长度最短为米．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用余弦定理建立方程求解；(2)依据题设运用基本不等式进行探求．
试题解析：
⑴ 在中，由余弦定理，得，
所以，即，
又因为，，所以，．
⑵要使所用的新型材料总长度最短只需的最小，
由(1)知，，所以，
因为，所以，
则，即，
当且仅当时，上式不等式成立．
故当边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．
考点：余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用．
27．已知函数 (为自然对数的底数，）, (,),
⑴若，．求在上的最大值的表达式；
⑵若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；
⑶若，,求使得图像恒在图像上方的最大正整数．
【答案】(1)；(2) ；(3)．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求；(3)依据题设构造函数,运用导数的知识求解．
试题解析：
(1)时，,
;
①当时，，在上为增函数，此时，
②当时，，在上为增函数，
故在上为增函数，此时…………………………………2分
③当时，，在上为增函数，在上为减函数，
若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，
此时………………………………5分
若，即时，在上为增函数，则此时，
综上所述： ………………………………6分，
（2），，
在上单调递减，在上单调递增，……………7分
在上恰有两个相异实根，
，
实数的取值范围是，…………………………………10分
（3）由题设：,，（*）
，故在上单调递减，在上单调递增，
（*），
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，…………………………12分
而，
且，
故存在，使，
且时，，时，，
又，，
时，使的图像恒在图像的上方的最大整数………………14分．
考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以两个函数解析式 (为自然对数的底数，）, (,)为背景,精心设置了两三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法并分类讨论的范围,借助导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则依据题设建立不等式组,通过解不等式组使得问题获解；(3)先依据题设将问题进行等价转化,从而将问题等价转化,然后构造函数,运用求导法则及转化化归思想分析推证,使得问题获解．
28．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足.设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）
（1）求的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？
【答案】（1）；（2）投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元.
【解析】
试题分析：（1）由题意，把代入所给函数求出即可；（2）每年两个大棚的总收益为,确定函数的定义域，利用二次函数图象在闭区间上求最值即可.
试题解析：（1）因为甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2），
依题意得，故．．．．．．8分
令，
则，
当，即时，，
所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元．．．．．．．．．．．12分
考点：函数的实际应用问题.
29．记表示中的最大值，如.已知函数.
（1）设，求函数在上零点的个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】
试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．
试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分
令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分
设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（或由方程在上有两根可得）
（2）假设存在实数，使得对恒成立，
则，对恒成立，
即，对恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
①设，
令，得递增；令，得递减，
∴，
当即时，，∴，∵，∴4．
故当时，对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
当即时，在上递减，∴．
∵，∴，
故当时，对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②若对恒成立，则，∴．．．．．．．．．．．11分
由①及②得，．
故存在实数，使得对恒成立，
且的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
30．已知函数，，是的导函数，设（为常数），求函数在上的最小值．
【答案】.
【解析】
试题分析：借助题设条件运用导数与函数的单调性之间的关系进行分类探求.
试题解析：
由题意，，
令，即，得，
当，即时，在上单调递增，
；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以．
综上：
考点：导数与函数的单调性之间的关系及分类整合思想等有关知识的综合运用．
31．如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施．附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在圆周上．

（1）设，征地面积记为，求的表达式；
（2）当为何值时，征地面积最大？
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.
试题解析：
（1）连接，可得，，，，
所以，．
（2），
令，∴（舍）或者．
因为，
所以时，，时，，
所以当时，取得最大，
故时，征地面积最大．

考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．
32．已知函数（为常数，是自然对数的底数）在点处取极值.
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.
【答案】（1），增区间，减区间；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）借助题设运用分析转化法构造函数运用导数与函数的单调性之间的关系进行求解.
试题解析：
（1）由可得.……1分
而，即，解得；……2分
，令可得，
当时，；当时，.
于是在区间内为增函数；在内为减函数.……5分
（2），
当时，.……7分
当时，要证，
只需证，……8分
令
则
因此，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值为，故.……10分
当时，
所以
所以
因此对任意，.……12分
考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.
33．已知函数
（1）若曲线在点处的切线倾斜角为，求的值；
（2）判定函数在是否存在极大值点或极小值点，并说明理由.
【答案】（1）；（2）有极小点，无极大点，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义求解；（2）借助题设运用导数与函数的单调性之间关系分析探求.
试题解析：
（1），……1分
由题意知，得，得……4分
（2），
若，在上，为减函数，没有极值点；……6分
若，在上，为增函数，没有极值点；……8分
若，由得，
时，为减函数.
时，为增函数.……11分
函数在取极小值，没有极大值.……12分
考点：导数的几何意义及导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用.
34．已知且，函数．
（1）求的定义域及其零点；
（2）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用对数的定义建立不等式求解；(2)依据题设运用分析转化法及分类整合思想进行探求．
试题解析：
（1）由得，，所以，函数的定义域为，
若，，所以，则函数的零点为；
（2）当时，由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，
若对任意，存在，使得，
所以只需满足即可，
则问题转化为在区间上恒成立，
对函数分情况讨论：
①当时，，符合题意；
②当时，函数图象开口向上，在区间上单调递增，此时，则，，所以；
③当时，函数图象开口向下，在区间上单调递减，此时，则，，所以；
综上所述，．
考点：对数的定义及分析转化法、分类整合思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】对数函数、二次函数等基本初等函数不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法．本题的第一问在求解时,先借助对数函数的定义建立不等式求出该函数的定义域,再运用零点的概念求出其零点；第二问的求解在求出两个函数的最值后,运用等价转化与化归的数学思想进行等价转化,从而将问题化为在区间上恒成立,再运用分类整合思想分析探求参数的取值范围．
35．已知函数．
（1）判断的导函数在上零点的个数；
（2）求证:．
【答案】(1)个；(2)证明见解析．
【解析】
试题分析：(1)利用零点存在性定理求解；(2)求出函数的单调性,得出最小值,最小值为正数时,就得出结论．
试题解析:（1）的定义域是在递增，而在上零点的个数是个．
（2）由（1）得在递增，而零点在上，设零点是，则，则在递减，在递增，，而，，故．
考点：1．零点存在性定理；2．导数的应用:求单调性,求最值．
【易错点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用,涉及有求函数的单调性和求函数的最小值,属于中档题． 在求函数单调性时,注意定义域；用零点存在性定理的两个条件:连续性和函数值在端点处符号异号；由函数的单调区间得出在处取得极小值,也是最小值,证明这个最小值为正数,得出结论．
36．已知函数（）．
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，判断函数在区间上零点的个数．
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）当时，在上有且仅有一个零点，当时，在上有两个零点.
【解析】
试题分析：（1）求得，当时，利用列表法可求得函数的单调区间和极值，极小值为，极大值为；（2），①当时，在上单调递增，在上递减．利用二分法可求得在上有两个零点；②当时，，在上有两个零点；③当时, 利用二分法可求得在上有两个零点；④当时，利用二分法可求得在上有一个零点；⑤当时，,得在上有一个零点.综上当时有个零点，当时，有两个零点.
试题解析：
（1），
∵，∴

递减
极小值
递增
极大值
递减
所以的极小值为，
极大值为．
（2）由（1）得，
①当时，在上单调递增，在上递减．
又因为，，，
所以在上有两个零点；
②当时，，在上有两个零点；
③当时，，
在上单调递增，在上递减，
又因为，，，
所以在上有两个零点；
④当时，，所以在上单调递增，在上递减，在上递增．
又因为，，
，
所以在上有且仅有一个零点，在上没有零点，
所以在上有且仅有一个零点；
⑤当时，恒成立，在单调递增，
∵，，
所以在上有且仅有一个零点，
综上可知，当时，在上有且仅有一个零点；
务当时，在上有两个零点．
考点：导数与极值，零点．
【方法点晴】本题主要考查考查导数与极值、最值的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点与二分法等知识.第一问求函数的单调区间与极值，只需利用导数，因式分解后利用列表法求得函数的单调区间与极值.第二问在第一问的基础上，的范围放大，同第一问的方法，根据导数的零点是否在区间上，利用导数和二分法讨论函数的零点个数.
37．已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若对于任意，都有，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），代入，求得；（2）由，化简得，令，利用导数求得的最大值为，所以，故的最小值为.
试题解析：
（1）对求导，得，
所以，解得．
（2）由，得，
因为，所以对于任意，都有．
设，则，
令，解得，
当变化时，与的变化情况如下表：

1

增
极大值
减
所以当时，，
因为对于任意，都有成立，所以，
所以的最小值为．
考点：函数导数与不等式。
38．已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．
【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当时，；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，利用导数求得斜率为，故切线为；（2），将分成四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设，因为，所以，，要证明，即证明，令，即证，令（），利用导数求得的最小值大于零即可.
试题解析：
（1）因为点在曲线上，所以，解得．
因为，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为，
①当时，，，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
④当，即时，，，
函数在上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，．
（3）不妨设，
因为，
所以，，
可得，，
要证明，即证明，也就是，
因为，
所以即证明，
即，
令，则，于是，
令（），
则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立，所以原不等式成立．
考点：导数与切线、最值.
【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.
39．已知，是实数，函数，，若在区间上恒成立，则称和在区间上为“函数”．
（1）设，若和在区间上为“函数”，求实数的取值范围；
（2）设，且，若和在以，为端点的开区间上为“函数”，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）按照“函数”的定义，将函数表达式代入，化简得，所以有，解得；（2）分别按，两类，结合“函数”的定义，类似（1）的方法，讨论得的最大值为.
试题解析：
（1）因为和在区间上为“函数”，
所以，在上恒成立，
即，
，
，即，，．……………（4分）
（2）①当时，因为和在以，为端点的开区间上为“函数”，
所以，在上恒成立，
即，恒成立，
，对任意，，
故对任意，，
，
．………………（8分）
②当时，因为和在以，为端点的开区间上为“函数”，所以在上恒成立，
即，恒成立，
，对任意，，
故对任意，，
，，．
综上可知，．……………………………（12分）
考点：新定义函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查新定义函数的性质.新定义函数的问题，主要要把握住新定义的定义式，即.在讨论一个具体问题的时候，将问题所包含的两个函数代入，利用一元二次不等式和一元一次不等式的知识，转化为恒成立问题，从而求得参数的取值范围，进而求得题目所求的最值.
40．已知函数，．
（1）当时，求的最大值和最小值；
（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围．
【答案】（1）最小值为,最大值；（2）.
【解析】
试题分析：（1）当时，,对称轴为，而，所以当时，有最小值为，当时，函数有最大值；（2）由已知的图象的对称轴为，要使在上是单调函数，
则或，解得.
试题解析：
（1）当时，，
由，当时，有最小值为，
当时，函数有最大值；………………（6分）
（2）由已知的图象的对称轴为，
要使在上是单调函数，
则或，
即或，又，
所以的取值范围是：．…………………（12分）
考点：三角恒等变换，三角函数单调区间.

评卷人
得分

三、填空题
41．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【解析】
试题分析:由题意可得,所以当时, ,所以,由于对称轴,故.故,即,解之得或,故应填答案或.
考点：转化化归思想及不等式恒成立问题的转化思想等知识和方法的综合运用．
【易错点晴】等价转化化归的数学思想是高中数学中常用的数学思想之一,也是高考重点考察的思想方法之一.本题以函数满足，当时，的条件为背景,考查是借助题设条件运用等价转化的数学思想和运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件,合理运用化归转化的数学思想,先将问题化归为,再求出其最小值,最终将问题转化为不等式恒成立,通过解不等式,使得问题获解.
42．已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：，
则，故答案为.
考点：分段函数的值.
43．若函数有3个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：，结合图象易知，实数的取值范围是.

考点：函数的零点.
【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令，变为两个函数，先画出的图象，然后将的图象上下平动，得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点.
44．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析:由题设及函数的解析式可知，所以．由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案.
考点：互为反函数的图象和性质及函数方程思想的综合运用．
【易错点晴】