三角函数单元检测卷.doc

高三第一次自我诊断数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1、已知，并且是第二象限角，则等于 ．
2、已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 。
3、化简 = ．
4、函数的定义域为 .
5、在中，已知，，，则 ．
6、函数，则使的的取值范围是 。
7、把函数的图像先向右平移个单位，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为 ．
8、集合A={a2,a+1,－3},B={a－3,2a－1,a2+1},若AB={－3}，则实数a的值为 。
9、已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是 .
10、已知，则一定是 三角形．
11、已知，且，则
= ．
12、已知，则的值为 。
13、在中，，则角C等于 。
14、给出下列四个命题：
（1）函数在区间上存在零点；
（2）若，则函数在处取得极值；
（3）若，则函数的值域为R；
（4）“” 是“”的充分不必要条件；
其中正确的是 。（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
二、解答题：本大题共6小题，共70分。请把答案填写在答题纸相应的位置上.
15、已知：。
求：（1）的值；
（2）的值。

16、在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．

17、在中，为角所对的三边，已知。
（1）求角A的值；
（2）若，设内角B为，周长为，求的最大值。

18、已知函数是定义在上的奇函数，且。
（1）求函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式。

19、已知函数。
（1）求的最小正周期，并求的最小值；
（2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围。

20、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

参考答案
1、 2、
16、【解】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于， 所以，得．
联立方程组 解得，．
（Ⅱ）由题意得， 即
当时，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组 解得，．
所以的面积．

20、解 （I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）. …（6分）
（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,
y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域. …………………………………（14分）
解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.从而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.