集合与函数概念.doc

综合测评(一)　集合与函数概念
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·湖北高考)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　)
A．{1，3，5，6}　　　　　　 B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
【解析】　∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，
∴∁UA＝{2，4，7}．
【答案】　C
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
【解析】　∵A＝{x∈N|－≤x≤}＝{0，1}，∴0∈A.
【答案】　B
3．设集合A＝{－1，3，5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是(　　)
A．{0，2，3} B．{1，2，3}
C．{－3，5} D．{－3，5，9}
【解析】　将A中的元素－1代入得－3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.
【答案】　D
4．(2014·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝x－2，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝1
C．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1
D．f(x)＝，g(x)＝
【解析】　D中f(x)、g(x)的定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．
【答案】　A
5．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为(　　)
A．5　　　　B．10 C．8　　　　D．不确定
【解析】　∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－4)＝f(4)＝5，
∴f(4)＋f(－4)＝10.
【答案】　B
6．(2014·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{0，1}
C．{0，2} D．{0，1，2}
【解析】　∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}．
【答案】　C
7．函数f(x)＝的图象是(　　)

A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
【解析】　由于f(x)＝＝所以其图象为C.
【答案】　C
8．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
【解析】　f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
【答案】　B
9．(2013·重庆高考)(－6≤a≤3)的最大值为(　　)
A．9　　　　B. C．3　　　　D.
【解析】　＝
＝
＝ ，
由于－6≤a≤3，
∴当a＝－时，有最大值.
【答案】　B
10．若函数f(3－2x)的定义域为[－1，2]，则函数f(x)的定义域为(　　)
A. B．[－1，2]
C. D.
【解析】　由－1≤x≤2，得－1≤3－2x≤5，
故选C.
【答案】　C
11．若函数f(x)＝则满足f(a)＝1的实数a的值为(　　)
A．－1　　　　B．1 C．－2　　　　D．2
【解析】　依题意，知满足f(a)＝1的实数a必不超过零，于是有由此解得a＝－1，
选A.
【答案】　A
12．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　根据题意，得解得≤x<，选D.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为________．
【解析】　由题意可知M＝{2，3}，∴M的真子集有∅，{2}，{3}共3个．
【答案】　3
14．用列举法表示集合：M＝＝________．
【解析】　由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1，2，5，10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.
【答案】　{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}
15．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
【解析】　∵A∪B＝A，即B⊆A，
∴实数m的取值范围为[2，＋∞)．
【答案】　[2，＋∞)
16．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________．
【解析】　f(x)＝＝x＋＋a＋1，因此有f(－x)＝－x＋＋a＋1，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即2a＋2＝0，所以a＝－1.
【答案】　－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|3x－1<x＋5}，求：
(1)A∩B；
(2)∁UA∪B.
【解】　(1)由已知得：
B＝(－∞，3)，A＝[1，4)，
∴A∩B＝[1，3)．
(2)由已知得：
∁UA＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，
∁UA∪B＝(－∞，3)∪[4，＋∞)．
18．(本小题满分12分)(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－1))．
(2)若f(x0)＞2，求x0的取值范围．
【解】　(1)因为f(－1)＝－(－1)＋3＝4，
所以f(f(－1))＝f(4)＝4×4＝16.
(2)当x0≤0时，令2＜－x0＋3，
得x0＜1，此时x0≤0；
当x0＞0时，令2＜4x0，得x0＞.
所以x0≤0或x0＞.
19．(本小题满分12分)设全集U＝{2，4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，求实数a的值．
【解】　由∁UA＝{－1}，可得
所以
解得a＝4或a＝2.
当a＝2时，A＝{2，4}，满足A⊆U，符合题意；
当a＝4时，A＝{2，14}，不满足A⊆U，故舍去．
综上，a的值为2.
20．(本小题满分12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
【解】　(1)设每天来回y次，每次挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b.
当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b，10＝7k＋b.
得到16＝4k＋b，10＝7k＋b.
解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.
(2)设每天来回y次，每次挂x节车厢，由题意知，每天挂车厢最多时，运营人数最多，
设每天运营S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920(人)．
即这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920人．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间上的最大值与最小值．
【解】　(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1，4]上是增函数，
∴最大值为f(4)＝＝，最小值为f(1)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)当x∈(－1，1)时判断函数f(x)的单调性，并证明；
(3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0.
【解】　(1)由题意可知f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，∴b＝0.
∴f(x)＝.
∵f＝，∴a＝1.
∴f(x)＝.
(2)f(x)在(－1，1)上为增函数．
证明：设－1<x1<x2<1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0，∴1－x1x2>0，
1＋x>0，1＋x>0，
∴<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在(－1，1)上为增函数．
(3)∵f(2x－1)＋f(x)<0，∴f(2x－1)<－f(x)，
又f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，
∴f(2x－1)<f(－x)，
∴
∴0<x<.
∴不等式f(2x－1)＋f(x)<0的解集为.

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