集合与函数概念质量评估检测.doc

高中数学 第一章 集合与函数概念质量评估检测 新人教A版必修1
时间：120分钟　满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　B．2
C．0 D．0或4
解析：当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.
答案：A
2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝(　　)
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．∅
解析：∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}．
又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．
又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．
答案：A
3.下列各组中的两个函数是同一函数的为(　　)
(1)y＝，y＝x－5.
(2)y＝，y＝.
(3)y＝x，y＝.
(4)y＝x，y＝.
(5)y＝()2，y＝2x－5.
A．(1)，(2) B．(2)，(3)
C．(3)，(5) D．(4)
解析：(1)中的y＝与y＝x－5定义域不同．(2)中两个函数的定义域不同．(3)中第1个函数的定义域、值域都为R，而第2个函数的定义域是R，但值域是{y|y≥0}．(5)中两个函数的定义域不同，值域也不同．(4)中显然是同一函数．
答案：D
4.下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
解析：由函数奇偶性定义可知B、D均为奇函数，C定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A为偶函数．
答案：A
5.若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析：令3x＋2＝t，则3x＝t－2，故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.
答案：B
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∵x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(－1)＝2－(－1)＝3.
又f(x)为R上的奇函数，
故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.
答案：A
7．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝(　　)
A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．[－4,1] D．(－2,1]
解析：S∩T＝{x|x＞－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2＜x≤1}．
答案：D
8．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞)
D．R
解析：要使函数有意义，需满足
即x≥－1且x≠0，故选C.
答案：C
9．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
答案：B
10.已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则一定有(　　)
A．f(－3)＞f(π) B．f(－3)＜f(π)
C．f(3)＞f(－π) D．f(－3)＞f(－π)
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0,4]上是增函数，
∴f(3)＜f(π)．∴f(－3)＜f(π)．
答案：B
11．(2014·昆明高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－x2，则当x＞0时，f(x)＝(　　)
A．x－x2 B．－x－x2
C．－x＋x2 D．x＋x2
解析：当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
答案：D
12.一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝__________.
解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
答案：10
14．用列举法表示集合：A＝{x|∈Z，x∈Z}＝__________.
解析：因为x∈Z，所以当x＝－3时，有－1∈Z；当x＝－2时，有－2∈Z；当x＝0时，有2∈Z；当x＝1时，有1∈Z，所以A＝{－3，－2,0,1}．
答案：{－3，－2,0,1}
15．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．
解析：函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上是增函数，当x＝－1时取最大值，所以b＝5，当x＝－3时，取最小值f(－3)＝－9＋5＝－4.
答案：－4
16．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________．
解析：根据题意画出f(x)大致图象：

由图象可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0.
答案：(－2,0)∪(0,2)
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解析：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，
∴m＝2.4分
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，7分
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以此函数是奇函数.10分
18.已知集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}．
(1)分别求∁R(A∩B)，(∁RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵A∩B＝{x|3≤x＜6}，
∴∁R(A∩B)＝{x|x＜3或x≥6}，
∵∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，
∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}．
6分
(2)∵C⊆B，∴，∴2≤a≤8.
∴实数a的取值范围为：2≤a≤8.12分
19.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1，
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.6分
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.12分
20.设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
解析：(1)∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.3分
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．

6分
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，
在区间[－1,0)，[1,3]上为增函数.9分
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值f(3)＝2；
当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2].12分
21.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
即＝－＝，
比较得n＝－n，n＝0，又f(2)＝，
∴＝，m＝2，
即实数m和n的值分别是2和0.6分
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数．
证明如下：由(1)知f(x)＝＝＋，
设x1＜x2≤－1，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·，
(x1－x2)＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
即函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数.12分
22.函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解析：(1)∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，b＝0.
∵f＝，∴＝，
∴a＝1.3分
∴函数解析式为f(x)＝(－1＜x＜1)．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0,1－x1x2＞0，(1＋x)(1＋x)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－1,1)上为增函数.6分
(3)∵f(t－1)＋f(t)＜0，∴f(t－1)＜－f(t)．
∵f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)＜f(－t)．
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
∴解得0＜t＜.
∴不等式的解集为{t|0＜t＜}.12分

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