函数的零点(教师版).doc

海门市证大中学高一数学教学学案 2014.11.1
2.5 函数与方程（第一课时）
——2.5.1 函数的零点
证大数学组 李谦
一、课标三维目标：
知识目标：理解函数（结合二次函数）零点的概念；领会函数零点与相应方程根的关系；掌握零点存在的判定条件．
能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想．
情感、态度与价值观：认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦．
二、教学重点、难点：
重点：函数零点的概念；函数零点与相应方程的根之间的关系；零点存在的判定定理．
难点：探究零点存在的条件，准确理解零点存在性定理．
三、 教学环节设计：
（一）自主领悟：
1．知识链接，温故知新
问题1：求一元二次方程的实数根，并画出二次函数的图像。观察，函数图像与轴的交点，与相应方程的根之间有什么关系？（二次函数的零点概念初体验）
2．情景导引，体验概念
问题2：探究一元二次方程的根与相应二次函数图像与轴交点的关系？（学生活动）
判别式

二次函数的图像

二次方程的根

函数图像与轴的交点坐标

结论：一元二次方程的根就是对应函数图像与轴交点的横坐标．
（让学生说出表中二次函数的零点，进一步了解零点概念）
3．自主学习，了解概念 （自学课本第74至75页）
（二）探究学习：
4．自主探究，形成概念
函数零点的概念：一般地，我们把使函数的值为 0 的实数 称为函数的 零点 ．
函数零点的意义：（一组等价关系）

5．点拨指导，理解概念
问题3：思考并回答下列问题：
①零点是一个点的坐标吗？ （函数的零点是实数不是点）
②任意函数都有零点吗？
③如何求函数的零点？
④通过观察二次函数的图像，函数零点附近函数值是否发生变化？
（有时穿过轴，有时不穿过．）
辨析练习：判断下列说法的正误：
①函数有零点；（ ）
②函数的零点是．（ ）
巩固练习：求下列函数的零点：
①
②
③

（“方程的根与函数零点的个数是相同的，大家看前面二次函数的图像表格中间一列．”简单提及“二重零点”）

6．合作探究，深化概念
问题4：探究，在什么情况下，函数在内一定存在零点？

情景一：

情景二：

⑴那组镜头说明小孩的行程一定层渡过小河？
⑵情景中，若将小河看成轴，是小孩的起点和终点，则当与轴是怎样的位置关系时，间一段连续不断的函数的图像与轴一定有交点？

结论：图像是一条连续不断的曲线
⑶问题⑵中，与轴的位置关系如何用数学符号（式子）表示？
结论：
猜一猜：由以上的探索你可以得出什么结论?

零点的存在性定理：一般地，若函数在 ，且 ，则称函数在区间上有零点．
（三）典例剖析，应用概念
例1．求证：一元二次方程有两个不相等的实数根．

例2．判断函数在区间上是否存在零点．

例3．求证：函数在区间上存在零点．
（体会引进函数零点的价值）

例4．（拓展）求证：无论a取什么实数，二次函数都有两个零点，并求出 最小时的二次函数的解析式．

（四）自主整理，归纳总结：
趣味口诀： 函数零点方程根，形数本是同根生。
函数零点端点判，图像连续不能忘。

（五） 布置作业（见附件）
（六）板书设计

附件：

自主检测，诊断反馈（作业） 班级： 姓名： 学号：

1． 二次函数的图象交x轴于AB两点，交y轴于C点，则三角形ABC的面积为____________________．
2．二次函数与x轴无交点，则一次函数的图象不经过第_____________象限．
3、抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是_____________．
4．二次函数的图象与x轴的关系是_______________．
(1)没有交点 (2)只有一个交点 (3)无数个交点 (4)至少有一个交点
5．已知二次函数满足，且有两个实根，则
______________．
6．已知函数在区间上的最小值为2，则该函数的零点个数有 个．
7．证明：（1）函数有两个不同的零点；（2）函数在区间上有零点．

8．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，(1)求m的取值范围；
(2)抛物线与x轴相交于点A，B，且B点的坐标为（3，0）求出A点的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．

9．已知二次函数，其中为实数。（1）证明对任意实数，这个二次函数必有两个零点；（2）若两个零点分别为，且的倒数和为，求这个二次函数的解析式．