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[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
2．函数f(x)＝的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由f(x)＝＝0，得x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点．
答案：B
3．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
所以函数的零点个数为2.
答案：B
4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
答案：C
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：因为f＝＋log2<0，
f＝＋log2>0，
所以f·f<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、3，
∴即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－、－，即为函数g(x)的零点．
答案：－，－
8．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．
解析：由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0.
∴－2<a<0.
答案：(－2,0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
解析：(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
10．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．
答案：A
12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．
解析：方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
答案：1
13．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知， 0<a－1<1，所以1<a<2.
即a的取值范围为(1,2)．
14．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得 <a<.
即a的取值范围为.
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