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第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[A 基础达标]
1.下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选B.根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B.
2.函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A.(0，0)，(2，0) B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C.－2，0，2 D.0，2
解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
3.函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，
即x2≥4，x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去).
即x＝2或x＝－2，
所以函数的零点个数为2个.故选B.
4.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A.
B.R
C.
D.∅
解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.
5.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(－1，3)
C.(1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A.由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
6.函数f(x)＝2 019x＋1的零点为 .
解析：令f(x)＝0，则x＝－.
答案：－
7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8.已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是 .
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1].
答案：(－∞，1]
9.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点.
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞).
10.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点.
(2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
[B 能力提升]
11.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B.(－4，4)
C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D.[－4，4]
解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
12.一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( )
A. B.(－∞，－5)
C. D.
解析：选C.关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则
解得－≤m＜－5.
故选C.
13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是( )
A.a＜α＜β＜b B.a＜α＜b＜β
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
解析：选A.因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.
14.若函数f(x)＝2ax2＋x－在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.
解：当a＝0时，f(x)＝x－，零点x＝∈(0，1)，符合题意.
当a≠0时，①若2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个相等实根，则此时不等式组无解，
②若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内只有一个实根，当f(1)＝2a＋≠0，即a≠－时，有f(0)·f(1)＝－＜0，解得a＞－，即此时a＞－，且a≠0；
当f(1)＝0，即a＝－时，方程为－x2＋x－＝0，解得x1＝x2＝1∈/ (0，1)，不合题意.
③若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个不等实根，即f(x)在(0，1)内有两个零点，因为f(0)＝－，所以此时函数f(x)的图像开口向下，则有此时不等式组无解.
综上可知，实数a的取值范围是.
[C 拓展探究]
15.若函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)在R的解析式；
(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？
解：(1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，
故f(x)＝
(2)在坐标系中，作出函数f(x)的图像.
当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；
当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；
当a＝±1时，g(x)有3个零点；
当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；
当a＜－3或a＞3时，g(x)有1个零点；
故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a＜－3或a＞3时，g(x)零点的个数最少.
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