2019_2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系第1课时函数的零点二次函数的零点及其与对应方程不等式解集之间的关系应用案巩固提升新人教B版必修第一册.doc

第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

[A　基础达标]
1.下列说法中正确的个数是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
A.1　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
解析：选B.根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B.
2.函数f(x)＝x3－4x的零点为(　　)
A.(0，0)，(2，0) B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C.－2，0，2 D.0，2
解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
3.函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，
即x2≥4，x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去).
即x＝2或x＝－2，
所以函数的零点个数为2个.故选B.
4.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.
B.R
C.
D.∅
解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.
5.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　)
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(－1，3)
C.(1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A.由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
6.函数f(x)＝2 019x＋1的零点为　　　　.
解析：令f(x)＝0，则x＝－.
答案：－
7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是　　　　.
解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8.已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是　　　　.
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1].
答案：(－∞，1]
9.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点.
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞).
10.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点.
(2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
[B　能力提升]
11.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B.(－4，4)
C.－∞，－4]∪[4，＋∞)
D.[－4，4]
解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
12.一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(－∞，－5)
C. D.
解析：选C.关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则
解得－≤m＜－5.
故选C.
13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是(　　)
A.a＜α＜β＜b B.a＜α＜b＜β
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
解析：选A.因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.
14.若函数f(x)＝2ax2＋x－在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围.
解：当a＝0时，f(x)＝x－，零点x＝∈(0，1)，符合题意.
当a≠0时，①若2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个相等实根，则此时不等式组无解
②若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内只有一个实根，当f(1)＝2a＋≠0，即a≠－时，有f(0)·f(1)＝－＜0，解得a＞－，即此时a＞－，且a≠0；
当f(1)＝0，即a＝－时，方程为－x2＋x－＝0，解得x1＝x2＝1∈/ (0，1)，不合题意.
③若方程2ax2＋x－＝0在(0，1)内有两个不等实根，即f(x)在(0，1)内有两个零点，因为f(0)＝－，所以此时函数f(x)的图像开口向下，则有此时不等式组无解.
综上可知，实数a的取值范围是.
[C　拓展探究]
15.若函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)在R的解析式；
(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？
解：(1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，
故f(x)＝
(2)在坐标系中，作出函数f(x)的图像.

当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；
当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；
当a＝±1时，g(x)有3个零点；
当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；
当a＜－3或a＞3时，g(x)有1个零点；
故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a＜－3或a＞3时，g(x)零点的个数最少.

- 5 -