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第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案 B
解析 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B.
2．函数f(x)＝x2－x－1的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
答案 C
解析 Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，所以方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．
3．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B.，1
C.，－1 D．－，1
答案 B
解析 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
4．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
答案 C
解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
5．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )
A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞)
C.∪(a，＋∞) D.
答案 A
解析 ∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)>0.又a<－1，∴>a，由函数f(x)＝(x－a)·的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a)∪.
二、填空题
6．函数f(x)＝的零点为________．
答案 2，－
解析 当x≥0时，由2x－4＝0，得x＝2；当x<0时，由2x2－3x－2＝0，得x＝－或2(舍去)．故函数f(x)的零点是2，－.
7．已知函数f(x)＝ax2－5x＋2a＋3的一个零点为0，则f(x)的单调递增区间为________．
答案
解析 由已知，得f(0)＝2a＋3＝0，∴a＝－，∴f(x)＝－x2－5x，∴f(x)的单调递增区间为.
8．已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数最多为________．
答案 4
解析 令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．
由图可知当a＋2>9，即a>7时，两函数图像有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图像有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当0<a＋2<9，即－2<a<7时，两函数图像有4个交点，即函数f(x)有4个零点；当a＋2＝0，即a＝－2时，两函数图像有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2<0，即a<－2时，两函数图像没有交点，即函数f(x)没有零点．综上，可知函数f(x)最多有4个零点．
三、解答题
9．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴
∴b＝－a，c＝－a.
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，
∴所求不等式的解集为.
10．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图像，并写出f(x)≥0的解集；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
解 (1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.因此3和－1都是函数f(x)的零点，其图像如图所示．由图可知，f(x)≥0的解集为{－1}∪[3,4]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点．由(1)所作图像可知，－4<－m≤0，
∴0≤m<4.∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
B级：“四能”提升训练
1．设函数f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解 (1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
由函数f(x)的图像可得所求不等式的解集为
(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此⇒m＝－.
2．已知关于x的函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0，即m≠－6时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数恒有零点．
综上，m≤－.
故m的取值范围是.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
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