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第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
2．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
答案 C
解析 利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；
②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝4>0，
在(－2,2)内有一个零点；
③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C正确．
3．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)<0，f(2.5)>0，f(2.25)<0，则方程的解所在的区间为( )
A．(2.25,2.5) B．(2,2.25)
C．(2.5,3) D．不能确定
答案 A
解析 由于f(2.25)f(2.5)<0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
答案 D
解析 根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在或内，或零点是.
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.4375
答案 D
解析 由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.
二、填空题
6．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
答案 4
解析 设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4.
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
答案 (2,3)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2,3)．
8．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
答案 ④
解析 ∵f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．
函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：
∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.
三、解答题
9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．
解 设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所
在区间
区间中点
中点对应的
函数值
取中点作为近似值时误差小于的值
(2,3)
＝2.5
f(2.5)＝
0．25>0
0.5
(2,2.5)
＝2.25
f(2.25)＝
－0.4375<0
0.25
(2.25，
2．5)
＝2.375
f(2.375)＝
－0.109375<0
0.125
(2.375，
2．5)
＝2.4375
—
0.0625
∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.
10．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．
(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)
解 函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－2<0，f(1.5)>0，
故f(x)在(1,1.5)内有零点．
又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，
所以(x＋1)(x－)(x＋)＝0，
所以f(x)在(1,1.5)内的零点为，
故精确到ε＝0.1的零点为1.4.
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所
在区间
区间中点
中点对应的
函数值
取中点作为近似值时误差小于的值
(1,1.5)
＝1.25
f(1.25)<0
0.25
(1.25，
1．5)
＝1.375
f(1.375)<0
0.125
(1.375，
1．5)
＝1.4375
—
0.0625
故函数y＝f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．
B级：“四能”提升训练
1．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
解 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
2．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
证明 ∵f(1)>0.∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0.
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
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