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第一讲 函数的图像和性质
【基础回顾】
一、知识梳理：
1．函数的概念
（1）一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x),. 其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．定义一个函数，函数的值域C与B的关系是：．
（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应法则相同的两个函数是同一函数．）；
2. 函数的性质
（1）定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：①分式的分母不等于0；②偶次根式中被开方式大于等于0；③对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于0.
（2）值域：在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．值域的求法较多，如：判别式法、三角代换法、反解法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法及导数法．值域往往与实际问题中的最优问题或数列问题相关联．
（3）奇偶性：如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．在此定义中可以看出，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称时，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断．奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称.
（4）单调性：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值，，当<时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间；当<时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．
判定单调性往往要借助定义域和奇偶性，方法主要有：①定义法：取值，作差，变形，定号，结论（其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．）．②图象法：若在D上的图象从左到右是上升(下降)的，则函数f(x)是区间D上的增(减)函数．③导数法：如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则称f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．④复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
（5）周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期．（周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．）
3. 函数的图像
函数图象的作法有两种：（1）描点法作图：一般要考虑定义域，化简解析式，描出能确定图象伸展方向的几个关键点．（2）利用图象变换法作图，主要有：①平移变换：y=f(x±a)(a>0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位得到；y=f(x)±b(b>0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位得到．②对称变换：y=f(x)与y=f(-x)的图象关于轴对称；与y=f(x)的图象关于轴对称；与y=f(x)的图象关于原点对称；y=|f(x)|的图象可由y=f(x)的图象在x轴下方的部分以轴为对称轴翻折，其余部分不变得到；y=f(|x|)的图象可将y=f(x)(x≥0)的部分作出，x<0的部分的图象可以利用偶函数的图象关于轴对称作出．
二、基础达标：
1.(2010·湖北文)已知函数 ，则 .
2．已知是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是 ．
3．(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是 ．
4．定义在上的奇函数，对任意，当有，则的大小关系为 ．
5．设定义域为R的函数 ，则的不同实数根的个数为 ．
【典型例题】
例题1：已知函数，当时，；
当（）时，.（1）求在[0，1]内的值域；（2）为何值时，不等式在[1，4]上恒成立.

例题2：定义在上函数，对于任意，均有，且．⑴求证：； ⑵求证：是偶函数；⑶若存在常数，使成立，求证：函数是周期函数．

例题3：已知0<a<1，f(ax)＝x＋. (1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的定义域；(2)判断并证明f(x)在上的单调性．

例题4：设函数是定义在上的奇函数，当时，（为实数）。⑴ 当时，求的解析式；⑵ 当，试判断在上的单调性，并给出证明；⑶ 是否存在，使得当时，有最大值.

【巩固练习】
1．(2010·全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是___________．
2．已知函数f(x)＝ax4＋bcos x－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为________．
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，
则f(1.5)＝_________.
4．定义在上的函数满足，则 ．
5．定义在[－2，2]上的偶函数时，单调递减，若则实数m的取值范围是 ．
6．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式为 ．
7．(2011·北京)已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 .
8．(2010·重庆)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，
则f(2 010)＝__________________．
9．给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为；②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)在[－，]上是增函数．其中正确的命题的序号是____ ___．
10．已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]，任意x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是___ ____．
11. 已知函数，⑴当时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；⑵求的取值范围，使得函数在上恒为增函数。

12. 已知函数是奇函数，⑴求实数的值；⑵若函数在区间上单调增，求实数的取值范围。

13. 已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m、n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有>0.(1)解不等式；
(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．

14．已知函数上是增函数，
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设的最小值．

【拓展提高】
★1．设定义在上的函数，若关于的方程有三个不同的实根，则的值为 ．

★2．(2010·湖南)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．
(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；
(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．

【总结反思】

第一讲 函数的图像和性质
【基础达标】
1. ； 2．；3．；4．；5．7．
【典型例题】
例题1。解：由题意得和是函数的零点，则（此处也可用韦达定理解）解得：

(1)由图像知，函数在内为单调递减，所以：当时，，
当时，. 在内的值域为．
(2)方法一：令，因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，则需要，即，解得，
当时，不等式在[1，4]上恒成立.
方法二：　不等式在[1,4]上恒成立，即在[1,4]上恒成立．
令，∵x∈[1,4]，且在[1,4]上单调递增，
∴，∴，
即时，不等式在[1,4]上恒成立．
例题2。解：（1）令x=y=0，得，又，∴．
（2）定义域为R，关于原点对称，
令x=0，得，∴，从而是偶函数．
（3）令，则，∴，
令，则，∴，
∴函数是周期函数，是它的一个周期．
例题3。解：　(1)令，∵且，∴，由得，
∴ （ ），
∴，定义域为．
(2) 在上是单调递减函数．
证明：∀， ，且<,

,
∵0<a<1，∴,,∴,,,
，,即,
∴在上是单调递减函数．
例题4。解：（1），则，∴，
又，∴，即当时，.
（2），∵，，∴，
∴在上为单调增函数.
（3）由（2）知当时，在上单调递增，
∴，即（舍去），
当时，，令得
x
(0,)

(,1)

+
0
-

↗

↘
∴当时， ，解得，综上，
【巩固练习】
1. 1<a<；2.1；3．2．5；4．；5．；6．；7．（0,1）；
8．；9．①②③；10. a≥或a≤－； 11.（1）当时，；当时， （2）. 12.（1）；（2）. 13. (1) ；(2) t≤－2，或t＝0，或t≥2.14．解：（1）；
（2）设
当的最小值为
当最小值为
所以，当的最小值为，当a>3时，.
【拓展提高】
★1. 14；★2. (1)证明：易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即
x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，
且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)>0.
故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0，即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.
(2)解：由(1)知，c≥|b|.当c>|b|时，有M≥＝＝.
令t＝，则－1<t<1，＝2－.而函数g(t)＝2－(－1<t<1)的值域是.
因此，当c>|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知，b＝±2，c＝2.
此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为.

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