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三角函数解答题
1.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
解：（1）由知，所以，………2分
又得，
即，解得，（舍）．………4分
故，． …………………6分
（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得
， 即 ① ………………8分
在△ABC中，由正弦定理得
即 ② ………………10分
由①②解得
故 ……………12分
2．第16题图
C
B
D
A
如图，在△中，，为中点，.
记锐角．且满足．
（1）求；
（2）求边上高的值．
2．解析：（1）∵，∴，
∵，∴． -----------------5分
（2）由（1）得， ∵，
∴， --------9分
在中，由正弦定理得：，
∴， -----------------11分
则高． -----------------12分
3. 如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，
点M在线段PQ上，
(1)若OM＝，求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
解　(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，
由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos 45°，
得MP2－4MP＋3＝0，
解得MP＝1或MP＝3.
(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理，得＝，
所以OM＝，
同理ON＝.
故S△OMN＝×OM×ON×sin∠MON
＝×
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.
4.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
解　(1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x，则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<.
则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，即sin＝－，∵<x<π，∴<x＋<π，
∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.
∵a⊥c，
∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.
∴sin 2α＋cos 2α＝0，
∴tan 2α＝－.
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC＝.
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2的取值范围．
解：(1) 因为tanC＝，即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)．
即2C＝A＋B，得C＝.
(2) 由C＝，设A＝＋α，B＝－α，0＜A、B＜，知－＜α＜.
因为a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，(8分)
所以a2＋b2＝sin2A＋sin2B＝＋
＝1－＝1＋cos2α.由－＜α＜，知－＜2α＜，－＜cos2α≤1，故＜a2＋b2≤.
6.在△ABC中，设且，与的夹角为150°
（1）求；（2）求△ABC的面积。

.7在斜△ABC中，设角A,B,C所对的边为a,b,c.
(1) 求证：
(2) 若求的值。

8.已知A,B,C是△ABC的三个内角且满足2sinB=sinA+sinC,设B的最大值为.
(1) 求的大小；
(2) 当时，求cosA-cosC的值。
解：（1）由正弦定理2b=a+c,
,所以B的最大值为。
（2）， sinA+sinC=，令cosA-cosC=t,两式平方相加
，2-cos(A+C)=, ,

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