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高清视频学案 8 / 8
函数与方程的思想
——北京四中 吕宝珠
一、【高考真题感悟】
已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝_____.
解析　∵f(f(0))＝f(2)＝4＋2a，
∴4＋2a＝4a，
∴a＝2.
考题分析
本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与
方程的转化，突出了函数与方程思想的应用．
易错提醒
(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间．
(2)准确构建方程，计算要正确．

二、思想方法概述
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构
造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的
重点和热点．
1．函数的思想
用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问
题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和
性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数
概念的本质认识．
2．方程的思想
在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各
量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，
或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来
支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函
数y＝f (x)，当y＝0时，就转化为方程f (x)＝0，也可以把函数
y＝f (x)看作二元方程y－f (x)＝0，函数与方程可相互转化．
4．函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化
为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而
研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的
观点去处理数列问题十分重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这
都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用
列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系
后，立体几何与函数的关系更加密切．

三、热点分类突破
题型一　函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用
例1　已知实数a>b>c，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a＋b
与a2＋b2的范围．
解　由a＋b＋c＝1可得a＋b＝1－c.
由a2＋b2＋c2＝1可得(a＋b)2－2ab＋c2－1＝0
即(1－c)2－2ab＋c2－1＝0
故ab＝c2－c，且a＋b＝1－c.
构造一个一元二次方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0，a，b是该方程的
两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)＝x2－(1－c)x＋c2－c，
(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，＋∞)内的
充分必要条件：

解得：－<c<0
所以，1<1－c<，<1－c2<1
即a＋b∈，a2＋b2∈.

探究提高 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建
以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．
(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等
问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分
挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)
求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其
他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．
(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明
显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.
(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的
个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，
那么就可用研究函数的方法将问题解决．

变式训练1
a、b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
解　方法一　(看成函数的值域)
∵ab＝a＋b＋3，
∴a≠1，
∴b＝，
而b>0，
∴>0，
即a>1或a<－3，
又a>0，
∴a>1，故a－1>0.
∴ab＝a·＝
＝(a－1)＋＋5≥9.
当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．
又a>3时，(a－1)＋＋5是关于a的单调增函数．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法二　(看成不等式的解集)
∵a，b为正数，
∴a＋b≥2，
又ab＝a＋b＋3，
∴ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，
解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
方法三　若设ab＝t，则a＋b＝t－3，
∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
从而有，即，
解得t≥9，即ab≥9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．

题型二　函数与方程思想在方程问题中的应用
例2　如果方程cos2x－sin x＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值
范围．
思维启迪 可分离变量为a＝－cos2x＋sin x，转化为确定的相关
函数的值域．
解　方法一　把方程变形为a＝－cos2x＋sin x.
设f(x)＝－cos2x＋sin x(x∈(0，])．
显然当且仅当a属于f (x)的值域时，a＝f(x)有解．
∵f (x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋)2－，
且由x ∈(0，]知sin x ∈(0,1]．
易求得f (x)的值域为(－1,1]．故a的取值范围是(－1,1]．
方法二　令t＝sin x，由x ∈(0，]，
可得t ∈(0,1]．
将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解．
设f(t)＝t2＋t－1－a.
其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．

因此f (t)＝0在(0,1]上有解等价于，
即，
∴－1<a≤1.
故a的取值范围是(－1,1]．
探究提高
研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通
常有两种处理思路:一是分离参数构建函数，将方程有解转化为
求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次
方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数
加以解决．

题型三　函数与方程思想在不等式问题中的应用
例3　已知f (t)＝log2t，t ∈[，8]，对于f(t)值域内的所有的实
数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．
思维启迪 求f(t)的值域→变更主元，将m看作主元→构造
g(m)＝m(x－2)＋x2－4x＋4.
解　∵t∈[，8]，∴f(t)∈，从而m∈，
原题可转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．
当x＝2时，不等式不成立．∴x≠2，
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2为m的一次函数．
问题转化为g(m)在m∈上恒大于0.
解得x>2或x<－1.
故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

探究提高 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法
就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要
注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参
数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范
围的量为变量，而待求范围的量为参数．
题型四　函数与方程思想在解决优化问题中的应用
例4 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P
为椭圆上的任意一点，则·的最大值为__．
解　由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3.
因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2因为-2≤x0≤2，
所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
探究提高 解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化
问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立
目标函数，再用函数的知识来解决．

变式训练4 如图所示，在单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面对
角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最
小值为________．

解　设A1P＝x，
则在△AA1P中，
AP＝
＝，
在Rt△D1A1P中，
D1P＝.
∴y＝AP＋D1P＝＋，
下面求对应的函数y的最小值．
将函数y变形，得
y＝＋，
它表示平面直角坐标系中，在x轴上存在一点P(x,0)，它到点
M 与到点N(0，－1)的距离之和最小，
∴当P、M、N三点共线时，这个值最小，
则为＝.

四、规律方法总结
1．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式
、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，
可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
2．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变
量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，
构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解
方程的实质就是分离参变量．

五、经典练习
1．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b
∈R)对称，则ab的取值范围是____________．
2．对于满足0≤p≤4的实数p，使x2＋px>4x＋p－3恒成立的x的
取值范围是_______________．

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