集合与函数概念讲义.doc

讲义一： 集合的含义与表示（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、Ï关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A，B，C，…表示；
2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x2+1｝；｛x2-x-2=0｝，｛x| x2-x-2=0｝,｛x|y=x2+1｝；｛t|y=t2+1｝；｛y|y=x2+1｝；｛(x,y)|y=x2+1｝； Æ；｛Æ｝,｛0｝
3、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、Æ；
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
一、集合的概念以及元素与集合的关系：
1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A，B，C，…表示；元素与集合的关系：∈、Ï
②、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、Æ；
③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：
★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=
▲★课堂练习：
1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：①②
2、已知集合A=｛1，0，x｝,又x2∈A，求出x之值。(解：x=-1)
3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈A，求出a之值。（解：a=0)
二、集合的表示---------列举法和描述法
★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2
★【例题3】、已知下列集合：（1）、=｛n | n = 2k+1,kN,k5｝；（2）、=｛x | x = 2k, kN, k3｝；（3）、=｛x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,kk3｝；
问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么，，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。
● 解：(Ⅰ)、⑴ =｛n | n = 2k+1,kN ,k5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；
⑵、=｛x | x = 2k, kN, k3｝＝｛0，2，4，6｝；
⑶、=｛x | x = 4k1,kk3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；
（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么、所表示的集合都是奇数集；所表示的集合都是偶数集。
▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；
（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。
★【例题4】、已知某数集A满足条件：若，则.
①、若2，则在A中还有两个元素是什么；②、若A为单元素集，求出A和之值.
● 解：①和； ②（此时）或（此时）。

▲●课堂练习：
1、书本P5：练习题2；P12：题3、4
2、设集合M=｛x|x= 4m+2,m∈Z｝,N=｛y|y= 4n+3,n∈Z｝，若x0∈M,y0∈N，则x0·y0与集合M、N的关系是（ A）：A、x0·y0∈M B、x0·y0ÏM C、x0·y0∈N D、无法确定
●解：x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0·y0∈M
三、今日作业：
1、已知集合B=｛x|ax2-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a的取值范围。（解：a=0或a≥9/8)
2、已知集合M=｛x∈N|∈Z｝，求出集合M。（解：M=｛0，1，2，5｝
3、已知集合N=｛∈Z | x∈N｝，求出集合N。（解：N=｛1，2，3，6｝
四、提高练习：
★【题1】、(2006年Æ·辽宁·T5·5分）设⊕是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）
A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集
★【题2】（2006年·山东·T1·5分）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
★【题3】（2005年·湖北·T1·5分）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（ B ）
A．9 B．8 C．7 D．6
★【题4】（广东2007年理科·8题）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ A ）
A． B．
C． D．
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、 记准N、Z、Q、R；Æ
2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。Æ◆Ü÷

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义二： 集合之间的基本关系（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本关系：包含关系------子集Í、真子集Ü、空集Æ；集合的相等。
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、集合之间的基本关系：子集Í、真子集Ü、空集Æ（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。

（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_____2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2

★【例题1】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PÊQ，求实数b的取值范围。
●解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。

★【例题2】、（2007年湖南·10题）．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ B ）
A．10 B．11 C．12 D．13

★【例题3】、（2007年北京文科·15题·12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求； （II）若，求正数的取值范围．
●解：（I）由，得．
（II）．
由，得，又，所以，即的取值范围是．

▲★课堂练习：
1、书本P7：练习题1、2、3；P12： 5：①②③；B组第2题。

2、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又AÝB，求出a之值。(解：a= -1或4)

3、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当BÍA时，求出m之取值范围。（解：m≥-1)
特别注意：当BÍA时，B一定包括有两种情形：B=Æ或B≠Æ，解题时极易漏掉B=Æ这一情况从而出错！

（三）、今日作业：
●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k∈Z｝B=｛x|x=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）
②、已知集合A=｛x|x=2k,k∈Z｝B=｛x|x=4m,m∈Z｝(解：B Í A）

●2、已知集合M=｛x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}
①、若NÍM，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为Æ的情况！)
②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）
③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m的取值范围（解：m<2或m>4)

（四）、提高练习：
★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个
A 2 B 3 C 5 D 8

★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C　）　
　　　Ａ　４　 Ｂ　５　 Ｃ　　６　 Ｄ　７

★【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=｛(x,y)|x∈A, y∈B｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个

★【题4】、集合的真子集个数是 （ A ）
（A）16 （B）8 （C）7 （D）4
●解答、，A的真子集有：，共7个，选C

★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意的x∈R恒成立}，则有（ B ）
A P=Q B PÜQ C PÝQ D P∩Q=Q

★【题6】、设集合M=｛x|x= +,k∈Z｝,N=｛x|x= +,k∈Z｝,则（ B）
A M=N B MÜN C MÝN D M∩N=Æ

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
3、 分清子集Í、真子集Ü、空集Æ；注意Æ的特殊性。
4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义三： 集合之间的基本运算（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本运算：①、交集A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝;
②、并集A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；
③、全集和补集：CUA=｛x|x∈U且xÏA｝

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、集合之间的基本运算：
A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝; A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；CUA=｛x|x∈U且xÏA｝

（二）、A∪B=A ⇔BÍA，要特别注意B是否为Æ的情况的讨论。

★【例题1】、已知集合A=｛x|x2-2x-8=0｝,B=｛x|x2+ax+a2-12=0｝且有A∪B=A ，求实数a的取值集合。
●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。

★【例题2】、已知全集U=｛x|x≤4｝,集合A=｛x|-2<x<3｝, 集合B=｛x|-3<x≤3｝,求①、CUA，②、A∩B，③、CU（A∩B），④、（CUA）∩B，⑤、CU（A∪B）
●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。

★【例题3】、已知集合A=｛x|x2-4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有A∩B≠Æ，求实数m的取值范围。
●解：（正难则反，补集的思想）｛m|m≤-1｝

▲★课堂练习：
◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B组第3、题。

◆2、、(2006年·辽宁·T1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C )
A 1 B 3 C 4 D 8

◆3、(2005年·全国Ⅰ·T2·5分）设I为全集，S1、S2、S3是I 上的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下列论断正确的是（ C ）
A CIS1∩（S2∪S3）=Æ B S1Í（CIS2∩CIS3） C CIS1∩CIS2∩CIS3=Æ D S1Í（CIS2∪CIS3）

◆ 4、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当A∪B=A时，求出m之取值范围。
（解：m≥-1)
特别注意：当BÍA时，B一定包括有两种情形：B=Æ或B≠Æ，解题时极易漏掉B=Æ这一情况从而出错！

（三）、今日作业：
●1、已知集合A=｛x|x+2>0｝,B=｛x|ax-3<0｝且有A∪B=A，求a 的取值范围。 (解：｛a|a≤-3/2｝）
●2、书本P12：10题、B组4题。

（四）、提高练习：
●★【题1】、设全集U=R，A=｛x| <0｝,B=｛x|x<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合是（ C ）
A ｛x|x>0｝ B ｛x|-3<x<0｝ C ｛x|-3<x<-1｝ D ｛x|x<-1｝

●★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C　）　
　　　Ａ　４　 Ｂ　５　 Ｃ　　６　 Ｄ　７

★【题3】、集合M=｛x||x-3|≤4｝,N=｛y|y= +｝,则M∩N=____｛0｝

★【题4】、(2004年·上海·T3·4分）设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛a,b｝若满足A∩B=｛2｝，则A∪B=____｛1，2，5｝

★ 【题5】、①已知集合A=｛y|y=｝,B=｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛y|y≥0｝

②已知集合A=｛x|y=｝,B=｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛x|x≥1或≤x≤｝

★【题6】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PÊQ，求实数b的取值范围。
解：(答案：{b|1≤b≤4}）

★【题7】、若全集I=R，¦(x),g(x)均为x的二次函数，且P=｛x|¦(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥0,｝则不等式组的解集可用P、Q表示为___( P∩CRQ)

★【题8】、．如右图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ C ）
A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S
C．(M∩P)∩(CI S） D．(M∩P)∪(CI S）

●题9、（2007年江苏第2题）．已知全集，，，则A∩(CRB)为（　A　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

★题10、（07北京）已知集合，，若，则实数的取值范围是 .

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
5、 注意集合之间的运算：交、并、补；
6、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义四： 函数及其表示（1）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、 函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例2、臭氧问题——图象法；实例3、恩格尔系数——列表法；
2、 函数的定义：P16定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）；注意记为y=f(x),x∈A；
3、 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。
4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数、二次函数的定义域与值域？
●练习：题1、，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
→ 题2、求值域.
5、 区间的概念：
●练习：1、用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b}
2、 用区间表示：函数y＝的定义域 ，值域是 。
●作业： 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、函数的概念：
（二）、函数的定义域的常见求法：
★【例题1】、书本P17例题1、例题2
★【例题2】、如果函数¦(x)满足：对任意的实数m、n都有¦(m)+ ¦(n)= ¦(m+n)且¦(1003)=2，则¦(1)+ ¦(3)+ ¦(5)+…+¦(2005)=____(2006)

★【例题3】、(06·重庆·T21·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足¦(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
▲解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意x∈R，有f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）.
▲★课堂练习：
●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5
●思考题：已知函数¦（x）对一切实数x、y均有¦（x+y）-¦（y）=（x+2y+1）·x成立，且¦（1）=0
①求¦（0）之值;②当¦（x）+3<2x+a 且0<x< 恒成立时，求a的取值范围
解、①¦（0）=-2； ②化为a>(x-)2+从而有｛a| a≥1｝为所求（函数的恒成立问题——函数思想去处理！）
（三）、今日作业：
●1、设f(x)＝，则f[f()]＝( B )
(A) (B) (C)－ (D)
解：f[f()]=f[|-1|-2]=f[-]=,选(B)

（四）、提高练习：
★【题1】、已知函数f (x)=2x-1,，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。
★【题2】、书本：P25：6题。
★【题3】、已知函数f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)之表达式
★【题4】、已知函数f(+4)=x+8+2，求f(x2)之表达式（学习高手P44）
★思考题：【题5】、二次函数¦（x）=ax2+bx (a,b为常数且a≠0)满足¦（-x+5）=¦（x-3）且方程¦（x）=x有等根；①求¦（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
解、①¦（x）=-x2+x ②由于¦（x）的值域是¦（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有¦（m）=3m且¦（n）=3n
∴存在实数m=-4,n=0使¦（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、注意函数的表示和定义域问题。
2．已知函数，分别由下表给出

1
2
3

1
3
1

1
2
3

3
2
1

则
则的值

为 ；满足的的值是 2．
3．设函数，则 ．
4、已知a,b为常数，若则 2 .
5．函数, 则（ B ）
A．2 B．－2 C． D．

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义五： 函数及其表示（2）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
【★例题1】设¦（x+1）的定义域为[-2,3）则¦(+2）的定义域为___({x|x≤或x>}

【★例题2】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

★●练习题:

1、下面可能表示函数的图象的是( )

★1、（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）

A. B. C. D. B.
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
●例题1：（2000年全国高考题）某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线（如图(2)）①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).
②、 写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).
③、 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

p Q
300 300
250
200 200
150
100 100
50
O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t
(图1) （图2）
●解:（1）f(t)=
（2）g(t)=.

（3）纯收益h(t)=f(t)-g(t)
=
当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大．

★【题2】如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.
解：

●【题3】、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下一个的变换公式:
x′= (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除)
+13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；5→=3，即e变成c。①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？
●解：①g→7→=4→d;o→15→=8→h;d→o;则明文good的密文为dhho
②逆变换公式为x= 2x′-1 (x′∈N, 1≤x′≤13)
2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有s→19→2×19-26=12→l;h→8→2×8-1=15→o,x→24→2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;故密文shxc的明文为love.

四、今日作业：
★1、．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg）
与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那
么乘客免费可携带行李的最大重量为 ______
_____19 kg _.

★2．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元.；（I）设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；（II）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；（III）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.
★解：（I）=120x+240, =240·60%(x+1)=144x+144.
（II）根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4.
答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.
（III）当>，120x+240>144x+144， 解得 x<4;
当<, 120x+240<144x+144, 解得 x>4.
答：当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义六： 函数的值域和映射概念
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007@ 手机号码 [phone]
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
【★例题1】
■①、设¦（x+1）的定义域为[-2,3）则¦(+2）的定义域为___({x|x≤或x>}

■②、求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=； f(x)=； f(x)=－

（Ⅱ）、教学：函数值域的求法：
1、常见函数的值域：①、一次函数y= kx+b (k≠0)的值域： ②、二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的值域： ③、反比例函数y= (k≠0)的值域：

●例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；f(x)＝；y＝；f(x)＝ ；
▲★：小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

（Ⅲ）、巩固练习：
▲1、求下列函数的值域：
①、y= 4-：配方及图象法： ②、y=+x的值域 （换元法答案：y≤1); ③、y= 分离常数法： ④、y= 判别式法或均值不等式法：

●2.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。
解、（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域（注意描成阴影部分）

◆3.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(x＋a)的定义域是 。

＃●4.课堂作业：书P24： 1、2、3题。

（Ⅳ）、综合提高部分：
【★例题1】设函数¦(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。
解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.

【★题2】 设函数¦（x）表示-2x+2与-2x2 +4x+2中的最小值,则¦（x）的最大值为( B )
A 1 B 2 C 3 D 0

（Ⅴ）、典例剖析与课堂讲授：
●★【例题3】、二次函数¦（x）=ax2+bx(a,b为常数且a≠0)满足¦（-x+5）=¦（x-3）且方程¦（x）=x有等根；①求¦（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
▲解、①¦（x）= -x2+x ②由于¦（x）的值域是¦（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有¦（m）=3m且¦（n）=3n ∴存在实数m=-4,n=0使¦（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
●注意：若函数满足有：¦（a+x）=¦（b-x）则此函数必有对称轴：x=

(Ⅵ). 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, ，对应法则：开平方；
，，对应法则：平方；
, , 对应法则：求正弦；

② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
口诀：看原象，要求每元必有象，且象唯一。对应方式：一对一；多对一；不允许一对多！

2.教学例题：
① 出示书本例题7： 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P | P是平面直角体系中的点}， ； A={高一某班学生}，B= ？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
，对应法则；
，，；
设；
，

三、巩固练习： 1、练习：书P23、 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.

（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、 函数的定义域、值域的求解————特别是图形结合的应用；
2、映射的概念及注意之处。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义七： 函数图象的基本变换
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（一）、基本概念及知识体系：
1、常见函数的图象：①、一次函数y= kx+b (k≠0)： ②、二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)： ③、反比例函数y= (k≠0)：
2、基本的图象变换：
特别要求注意函数y=f(|x|)和函数y=|f(x)|的图象的作图方法.
①、平移变化：y=¦（x)左移m：Þ_______；y=¦（x)右移m：Þ_______；y=¦（x)上移h：Þ_______；y=¦（x)下移h：Þ_______；
③、对称变化： y=¦（-x)的图象为：_____；y=-¦（x)的图象为：_____； y= -¦（-x)的图象为：_____； y=¦（|x|)的图象为：_____ ；y=|¦（x)|的图象为：_____；
3、几个常用结论：①、若函数y=¦（x)满足¦（x+a)= ¦（b-x)恒成立，则函数y=¦（x)的对称轴为直线x=；②、若两个函数y=¦（a+x) 与函数y=¦（b-x)，则它们的图象关于直线x= 对称。
(二)、典例剖析和教学过程：
【★例题1】P21、例题5、画出函数y=|x|的图象

●练习题
★1、书本第P23、练习题3题：画出函数y=|x-2|的图象；
★题2：画出函数y=| x2-2x-3|的图象。
★3、函数y=¦（x)=x+3/x+4的图象是由函数y=¦（x)=1 /x经过怎样的变换而得到的?
（三）、关于分段函数的图象问题:
书本例题：第P21 题1：招手即停的应用问题
★练习题:
※【题1】给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2|<m有解
乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若甲真乙假，则m的取值范围为＿＿＿＿
●解、①甲真，则不等式|x|+|x-2|<m有解Þm>2
②乙假,则方程4x2+4(m-2)x+1=0有实根，
即△＝［４（m-2)]2-4×4×1≥0Þm≤1或m≥3 ∴｛m|m≥3｝为所求
※【★题2】不等式x+|x-2c|>1的解集为Ｒ(c>0)，则c的取值范围为＿ ●解、｛c|c>｝
（四）、函数图象的应用：
★【★题1】已知函数¦（x）=x2-2(2a+1)x +a2(a∈R)，当x∈[0,1]时，求出函数¦（x）的最小值g(a) a2 (a≤)
●解、g(a) = -3a2-3a-1 (≤a≤0)
a2-4a-1 , (a>0)
【★题2】对,记；函数的最小值是　　.
●解析：由，故

，其图象如右，
则。

（五）、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题：
★书本第P29例题1：
（六）、今日作业:
●画出下列函数的图象:《学习高手》第P62的例题4

（七）、课堂回顾与小结：
注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题（上下平移、左右平移之规律）。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义八： 函数的的基本性质----单调性和最值(1)
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007@ 手机号码 [phone]
（一）、基本概念及知识体系：