集合与函数概念讲义.doc

讲义一： 集合的含义与表示（2课时） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码 [phone]（）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的、关系；元素：用小写的字母a,b,c,表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A，B，C，表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：y=x2+1；x2-x-2=0，x| x2-x-2=0,x|y=x2+1；t|y=t2+1；y|y=x2+1；(x,y)|y=x2+1； ；,03、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；（）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A，B，C，表示；元素与集合的关系：、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、；、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：【例题1】、已知集合A=a-2,2a2+5a,10,又-3A，求出a之值。解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a= 课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：2、已知集合A=1，0，x,又x2A，求出x之值。(解：x=-1)3、已知集合A=a+2,（a+1）2，a2+3a+3,又1A，求出a之值。（解：a=0)二、集合的表示-列举法和描述法【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2【例题3】、已知下列集合：（1）、=n | n = 2k+1,kN,k5；（2）、=x | x = 2k, kN, k3；（3）、=x | x = 4k1,或x = 4k1,kk3； 问：（）、用列举法表示上述各集合；（）、对集合，如果使kZ,那么，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。 解：()、 =n | n = 2k+1,kN ,k51，3，5，7，9，11；、=x | x = 2k, kN, k30，2，4，6；、=x | x = 4k1,kk31，1，3，5，7，9，11，13；（）、对集合，如果使kZ,那么、所表示的集合都是奇数集；所表示的集合都是偶数集。点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；（2）掌握奇数集偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。【例题4】、已知某数集A满足条件：若，则.、若2，则在A中还有两个元素是什么；、若A为单元素集，求出A和之值. 解：和； （此时）或（此时）。课堂练习：1、书本P5：练习题2；P12：题3、42、设集合M=x|x= 4m+2,mZ,N=y|y= 4n+3,nZ，若x0M,y0N，则x0y0与集合M、N的关系是（ A）：A、x0y0M B、x0y0M C、x0y0N D、无法确定解：x0y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0y0M三、今日作业：1、已知集合B=x|ax2-3x+2=0,aR,若B中的元素至多只有一个，求出a的取值范围。（解：a=0或a9/8)2、已知集合M=xN|Z，求出集合M。（解：M=0，1，2，53、已知集合N=Z | xN，求出集合N。（解：N=1，2，3，6四、提高练习：【题1】、(2006年辽宁T55分）设是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、bA，有abA，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ） A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集 【题2】（2006年山东T15分）定义集合运算：AB=zz= xy(x+y)，zA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（ D ）（A）0 （B）6 （C）12 （D）18【题3】（2005年湖北T15分）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是（ B ）A9 B8 C7 D6【题4】（广东2007年理科8题）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ A ）ABCD （）、课堂回顾与小结：1、 记准N、Z、Q、R；2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义二： 集合之间的基本关系（2课时） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码 [phone]（）、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本关系：包含关系-子集、真子集、空集；集合的相等。2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。（）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、集合之间的基本关系：子集、真子集、空集（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_2n,真子集个数是_2n-1,非空真子集：2n-2【例题1】、已知集合P=x|x2-5x+40,Q=x|x2-(b+2)x+2b0且有PQ，求实数b的取值范围。解：b|1b4；注意利用数轴去加以判断。【例题2】、（2007年湖南10题）设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ B ）A10B11C12D13【例题3】、（2007年北京文科15题12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求； （II）若，求正数的取值范围解：（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范围是课堂练习：1、书本P7：练习题1、2、3；P12： 5：；B组第2题。2、已知集合A=2，8，a, B=2，a2-3a+4,又AB，求出a之值。(解：a= -1或4)3、已知集合A=x|-3x4B=x|2m-1xm+1,当BA时，求出m之取值范围。（解：m-1)特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！（三）、今日作业：1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：、已知集合A=x|x=2k-1,kZB=x|x=2m+1,mZ(解：A=B）、已知集合A=x|x=2k,kZB=x|x=4m,mZ(解：B A）2、已知集合M=x|-2x5,N=x|m+1x2m-1 、若NM，求实数m的取值范围；（解：m3，注意N为的情况！) 、若xZ，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个） 、（选做）当xR 时，没有元素使得xM与xN同时成立，求实数m的取值范围（解：m4)（四）、提高练习：【题1】、设集合S=a,b,c,d,e,则包含a,b的S的子集共有（D ）个A 2 B 3 C 5 D 8【题2】、集合A=（x,y)|2x+y=5,xN,yN,则A的非空真子集的个数为（C） 【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：AB=(x,y)|xA,yB,若A=1，3，B=2，4，则点集AB的非空真子集的个数是_14_个【题4】、集合的真子集个数是 （ A ）（A）16 （B）8 （C）7 （D）4解答、，A的真子集有：，共7个，选C【题5】、（2004湖北）已知集合P=m|-1m0,Q=mR|mx2+4mx-40对任意的xR恒成立，则有（ B ）A P=Q B PQ C PQ D PQ=Q【题6】、设集合M=x|x= +,kZ,N=x|x= +,kZ,则（ B） A M=N B MN C MN D MN= （）、课堂回顾与小结：3、 分清子集、真子集、空集；注意的特殊性。4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义三： 集合之间的基本运算（2课时） 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码 [phone]（）、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本运算：、交集AB=x|xA且xB; 、并集AB=x|xA或xB；、全集和补集：CUA=x|xU且xA2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。（）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、集合之间的基本运算： AB=x|xA且xB; AB=x|xA或xB；CUA=x|xU且xA（二）、AB=A BA，要特别注意B是否为的情况的讨论。【例题1】、已知集合A=x|x2-2x-8=0,B=x|x2+ax+a2-12=0且有AB=A ，求实数a的取值集合。解：a|a-4,或a=-2,或a4；注意，注意分类讨论。【例题2】、已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3, 集合B=x|-3x3,求、CUA，、AB，、CU（AB），、（CUA）B，、CU（AB）解：a|a-4,或a=-2,或a4；注意，注意分类讨论。【例题3】、已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0,B=x|x0,B=x|ax-30且有AB=A，求a 的取值范围。 (解：a|a-3/2）2、书本P12：10题、B组4题。（四）、提高练习：【题1】、设全集U=R，A=x| 0,B=x|x0 B x|-3x0 C x|-3x-1 D x|x-1【题2】、集合A=（x,y)|2x+y=5,xN,yN,则A的非空真子集的个数为（C） 【题3】、集合M=x|x-3|4,N=y|y= +,则MN=_0【题4】、(2004年上海T34分）设集合A=5，log2(a+3)，集合B=a,b若满足AB=2，则AB=_1，2，5 【题5】、已知集合A=y|y=,B=y|y=x2-2x-3,xR,则AB=_y|y0 已知集合A=x|y=,B=y|y=x2-2x-3,xR,则AB=_x|x1或x【题6】、已知集合P=x|x2-5x+40,Q=x|x2-(b+2)x+2b0且有PQ，求实数b的取值范围。解：(答案：b|1b4）【题7】、若全集I=R，(x),g(x)均为x的二次函数，且P=x|(x)a、x|xb、x|xb2、 用区间表示：函数y的定义域 ，值域是 。 作业： 已知函数f(x)=3x5x2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)（）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、函数的概念：（二）、函数的定义域的常见求法：【例题1】、书本P17例题1、例题2【例题2】、如果函数(x)满足：对任意的实数m、n都有(m)+ (n)= (m+n)且(1003)=2，则(1)+ (3)+ (5)+(2005)=_(2006)【例题3】、(06重庆T2112分)已知定义域为R的函数f(x)满足(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.解：（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 x.但方程x2 x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x20.若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（xR）.课堂练习：练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5思考题：已知函数（x）对一切实数x、y均有（x+y）-（y）=（x+2y+1）x成立，且（1）=0求（0）之值;当（x）+32x+a 且0x(x-)2+从而有a| a1为所求（函数的恒成立问题函数思想去处理！）（三）、今日作业：1、设f(x)，则ff()( B )(A) (B) (C) (D) 解：ff()=f|-1|-2=f-=,选(B)（四）、提高练习：【题1】、已知函数f (x)=2x-1,，求fg(x)和gf(x)之值。【题2】、书本：P25：6题。【题3】、已知函数f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)之表达式【题4】、已知函数f(+4)=x+8+2，求f(x2)之表达式（学习高手P44）思考题：【题5】、二次函数（x）=ax2+bx (a,b为常数且a0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x）=x有等根；求（x）的解析式；是否存在实数m、n(m 【例题2】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。练习题:1、下面可能表示函数的图象的是( )1、（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. B.（）、典例剖析与课堂讲授过程：例题1：（2000年全国高考题）某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线（如图(2)）、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).、 写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).、 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？p Q300 300 250200 200 150100 100 50 O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t (图1) （图2）解:（1）f(t)=（2）g(t)=.（3）纯收益h(t)=f(t)-g(t)=当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大【题2】如右图,已知底角45为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式. 解： 【题3】、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,26这26个自然数,见如下表格:abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下一个的变换公式: x= (xN,1x26,x不能被2整除) +13(xN,1x26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8+13=17,即h变成q；5=3，即e变成c。按上述规定，将明文good译成的密文是什么？按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？解：g7=4d;o15=8h;do;则明文good的密文为dhho逆变换公式为x= 2x-1 (xN, 1x13) 2x-26 (xN,14x26),则有s19219-26=12l;h828-1=15o,x24224-26=22v;c323-1=5e;故密文shxc的明文为love. 四、今日作业：1、某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg）与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为 _ _19 kg _.2某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元.；（I）设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；（II）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；（III）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠. 解：（I）=120x+240, =24060%(x+1)=144x+144.（II）根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4.答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.（III）当，120x+240144x+144， 解得 x4;当, 120x+2404.答：当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义六： 函数的值域和映射概念 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2007 手机号码 [phone]（）、基本概念及知识体系： 函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。【例题1】、设（x+1）的定义域为-2,3）则(+2）的定义域为_(x|x或x、求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)=； f(x)=； f(x)=（）、教学：函数值域的求法：1、常见函数的值域：、一次函数y= kx+b (k0)的值域： 、二次函数y= ax2+bx+c (a0)的值域： 、反比例函数y= (k0)的值域： 例2：求值域（用区间表示）：yx2x4；f(x)；y；f(x) ； ：小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法（）、巩固练习：1、求下列函数的值域： 、y= 4-：配方及图象法： 、y=+x的值域 （换元法答案：y1); 、y= 分离常数法： 、y= 判别式法或均值不等式法：2.求函数yx4x1 ，x-1,3) 在值域。 解、（数形结合法）：画出二次函数图像 找出区间 观察值域（注意描成阴影部分）3.已知函数f(x)的定义域是0,1，则函数f(xa)的定义域是 。4.课堂作业：书P24： 1、2、3题。（）、综合提高部分：【例题1】设函数(x)=x2-2x+2,xt,t+1的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.【题2】 设函数（x）表示-2x+2与-2x2 +4x+2中的最小值,则（x）的最大值为( B ) A 1 B 2 C 3 D 0（）、典例剖析与课堂讲授：【例题3】、二次函数（x）=ax2+bx(a,b为常数且a0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x）=x有等根；求（x）的解析式；是否存在实数m、n(m n)使（x）定义域为m，n，值域为3m，3n，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由解、（x）= -x2+x 由于（x）的值域是（x）,则3n,即n,所以有（m）=3m且（n）=3n 存在实数m=-4,n=0使（x）定义域为-4，0，值域为-12，0注意：若函数满足有：（a+x）=（b-x）则此函数必有对称轴：x=(). 教学映射概念： 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意, ，对应法则：开平方；，对应法则：平方；, , 对应法则：求正弦； 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“” 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.口诀：看原象，要求每元必有象，且象唯一。对应方式：一对一；多对一；不允许一对多！2.教学例题： 出示书本例题7： 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A=P | P是数轴上的点，B=R； A=三角形，B=圆；A= P | P是平面直角体系中的点， ； A=高一某班学生，B= ？ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则；，对应法则； ，；设；，三、巩固练习： 1、练习：书P23、 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题. （）、课堂回顾与小结：1、 函数的定义域、值域的求解特别是图形结合的应用；2、映射的概念及注意之处。湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义七： 函数图象的基本变换 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码 [phone]（一）、基本概念及知识体系： 1、常见函数的图象：、一次函数y= kx+b (k0)： 、二次函数y= ax2+bx+c (a0)： 、反比例函数y= (k0)： 2、基本的图象变换：特别要求注意函数y=f(|x|)和函数y=|f(x)|的图象的作图方法.、平移变化：y=（x)左移m：_；y=（x)右移m：_；y=（x)上移h：_；y=（x)下移h：_；、对称变化： y=（-x)的图象为：_；y=-（x)的图象为：_； y= -（-x)的图象为：_； y=（|x|)的图象为：_ ；y=|（x)|的图象为：_；3、几个常用结论：、若函数y=（x)满足（x+a)= （b-x)恒成立，则函数y=（x)的对称轴为直线x=；、若两个函数y=（a+x) 与函数y=（b-x)，则它们的图象关于直线x= 对称。(二)、典例剖析和教学过程：【例题1】P21、例题5、画出函数y=|x|的图象 练习题1、书本第P23、练习题3题：画出函数y=|x-2|的图象；题2：画出函数y=| x2-2x-3|的图象。3、函数y=（x)=x+3/x+4的图象是由函数y=（x)=1 /x经过怎样的变换而得到的?（三）、关于分段函数的图象问题:书本例题：第P21 题1：招手即停的应用问题练习题: 【题1】给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2|m有解 乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若甲真乙假，则m的取值范围为解、甲真，则不等式|x|+|x-2|2 乙假,则方程4x2+4(m-2)x+1=0有实根，即（m-2)2-4410m1或m3 m|m3为所求【题2】不等式x+|x-2c|1的解集为(c0)，则c的取值范围为 解、c|c（四）、函数图象的应用： 【题1】已知函数（x）=x2-2(2a+1)x +a2(aR)，当x0,1时，求出函数（x）的最小值g(a) a2 (a) 解、g(a) = -3a2-3a-1 (a0)a2-4a-1 , (a0)【题2】对,记；函数的最小值是.解析：由，故，其图象如右，则。（五）、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题：书本第P29例题1：（六）、今日作业:画出下列函数的图象:学习高手第P62的例题4 （七）、课堂回顾与小结： 注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题（上下平移、左右平移之规律）。湖南省省级示范性高中洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义八： 函数的的基本性质-单调性和最值(1) 撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007 手机号码 [phone]（一）、基本概念及知识体系：