九上第三次月考题（含一元二次方程、二次函数、旋转、圆）.doc

九年级（上）第三次月考数学试卷
班级 学号 姓名 成绩
一、选择题（共10题，每题4分共40分）
1．下列是二次函数的是( )
A．y=ax2+bx+c B．y=+x C．y=x2﹣（x+7）2 D．y=（x+1）（2x﹣1）
2．剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
5．某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x元，则可得方程( )
A．300（x﹣30）=8700 B．x（x﹣50）=8700
C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700 D．（x﹣30）（300﹣x）=8700
6．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
7．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A．﹣ B． C． D．k≥﹣且k≠0
8．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为( )
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
9．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．
其中正确结论的个数是( )

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0，则a的值为__________．
12．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有__________个．
13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________．
14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__________．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__________．
三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）
16．解下列方程：
（1）﹣x2﹣3x+6=0 （2）7x（3﹣x）=3（x﹣3）

17．先化简，再求值：，其中m满足一元二次方程

四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣2，﹣3）
（1）作出△ABC向上平移6个单位，再向右平移7个单位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A3B3C3，请你画出旋转后的△A3B3C3．

19．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长．

五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）
20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

21、如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的长．

六、解答题（本题满分12分）
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

七、解答题（本题满分12分）
23．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

八、解答题（本题满分14分）
24．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列是二次函数的是( )
A．y=ax2+bx+c B．y=+x C．y=x2﹣（x+7）2 D．y=（x+1）（2x﹣1）
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：A、a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，故A错误；
B、y=+x不符合二次函数，故B错误；
C、y=x2﹣（x+7）2是一次函数，故C错误；
D、y=（x+1）（2x﹣1）是二次函数，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．
2．剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确． 故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )
A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】分类讨论．
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
5．某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x元，则可得方程( )
A．300（x﹣30）=8700 B．x（x﹣50）=8700
C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700 D．（x﹣30）（300﹣x）=8700
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【分析】设定价为x元，则每件内衣的利润为（x﹣30）元，销售的件数为[300﹣（x﹣50）]，利用每一件的销售利润×销售的件数=总利润列出方程即可．
【解答】解：设定价为x元，由题意得
（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】压轴题．
【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，即可求解．
【解答】解：∵AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，∴AD=5，
∵点O是AC中点，点P是CD中点，∴OP是△CAD的中位线，OC=OA=3，∴OP=AD=2.5，
∵OP＜OA，∴点P在⊙O内，故选A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
7．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A．﹣ B． C． D．k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，
∴①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；
②当k≠0时，方程为一元二次方程，
如果方程有实数根，那么其判别式△=b2﹣4ac≥0，
即（2k+1）2﹣4k2≥0，∴k≥﹣，
∴当k≥﹣，关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根．故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题要注意题干并没有说明方程一定是一元二次方程，因此要将所有的情况都考虑到．
8．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为( )
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】分类讨论．
【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．
【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，
∴∠A=40°，∠A′=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°． 故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
9．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】分类讨论．
【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0， 解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点， 故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．
其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0，则a的值为﹣4．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】把x=0代入已知方程，得到关于a的一元一次方程，通过解该一元一次方程即可得到a的值．
【解答】解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a﹣4=0，解此方程得到a1=﹣4，a2=1；
又∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a﹣1≠0，即a≠1；综合上述两个条件，a=﹣4，
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
12．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有2个．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，可得点P在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特点可得a的取值范围，然后可得a的整数解．
【解答】解：∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，
∴点P在第三象限，∴，解得：﹣＜a＜2，
∵a为整数，∴a=0或1，共2个， 故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及四个象限内点的坐标符号，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=2，再比较点A、B、C到直线x=2的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象的对称轴为直线x=2，
因为点B（，y2）到直线x=2的距离最小，点C（﹣2，y3）到直线x=2的距离最大，
而抛物线的开口向下，所以y3＜y1＜y2． 故答案为y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=lr=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，
设圆心角为n，有=πR=2πr，∴n=180°． 故答案为：180．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===；

解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中

∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，∴AC==，故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）
16．解下列方程：
（1）﹣x2﹣3x+6=0 （2）7x（3﹣x）=3（x﹣3）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）首先把二次项系数化为1，找出一元二次方程中a，b和c的值，求出△=b2﹣4ac，进而利用公式法求出方程的根；
（2）首先移项，再提取公因式（x﹣3）得到（x﹣3）（7x+3）=0，最后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵﹣x2﹣3x+6=0，
∴x2+6x﹣12=0，
∴a=1，b=6，c=﹣12，
∴△=b2﹣4ac=84，
∴x=，
∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣；
（2）∵7x（3﹣x）=3（x﹣3），
∴3（x﹣3）+7x（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（7x+3）=0，
∴x﹣3=0或7x+3=0，
∴x1=3，x2=﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．==
解方程得：m=3或m=1(舍去)
当m=3时，原式=
四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣2，﹣3）
（1）作出△ABC向上平移6个单位，再向右平移7个单位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A3B3C3，请你画出旋转后的△A3B3C3．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移6个单位，再向右平移7个单位，然后顺次连接；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；
（3）分别将点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后得到三点，然后顺次连接．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示： C2的坐标是（2，﹣3）；
（3）所作图形如图所示．
【点评】本题考查了根据旋转变化、轴对称变换和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
19．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；
（2）设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=， 则EF=．
【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）
20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，列出y与x的函数关系式是解题的关键．
21、如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB=BG=2，求CD的长
【考点】切线的判定；解直角三角形．
【分析】（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；
（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．
【解答】解：（1）直线FC与⊙O相切．
理由如下：连接OC．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3，∴OC∥AF．∴∠OCG=∠F=90°．∴直线FC与⊙O相切．
（2）在Rt△OCG中，，∴∠COG=60°．
在Rt△OCE中，．
∵直径AB垂直于弦CD，∴．　
六、解答题（本题满分12分）
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
七、解答题（本题满分12分）
23．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，即（10﹣x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10﹣x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
∴（10﹣x）2+52=x2，∴，， ∴⊙O的直径为．
【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
八、解答题（本题满分14分）
24．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用根据与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；
（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β=，αβ=﹣2，
∵=﹣2，
∴=﹣2，即=﹣2，
解得：m=1，
故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，
∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，
则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），
连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，
此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：
延长E′E，′D