三角函数的综合问题.doc

三角函数的综合问题
填空题
．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知锐角满足,则的最大值是______.
【答案】
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）函数的所有零点之和为____.
【答案】4
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知,均为正数,,且满足,,则的值为______.
【答案】
．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）函数的图象上关于原点对称的点有______.对.
【答案】3
．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）函数, 的最大值为__________
【答案】
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）每年的1月1日是元旦节,7月1日是建党节,而2013年的春节是2月10日,因为______,新年将注定不平凡,请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日.
【答案】101;
本题的一般结论是,可以应用课本习题中结论证得.
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在中, 若, 则的值为 .
【答案】
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若,满足, 则的值为 .
【答案】-1
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是_____________.
①若;②函数的图象关于x=对称;③函数为偶函数,④函数是周期函数,且周期为2.
【答案】1,2,4
解答题
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知向量
(1)当时,求的值;
(2)设函数,求的单调增区间;
(3)已知在锐角中,分别为角的对边,,对于(2)中的函数,求的取值范围.
【答案】

．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9和15,从建筑物的顶部看建筑物的视角.
(1) 求的长度;
(2) 在线段上取一点点与点不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时,最小?

第17题图

【答案】⑴作,垂足为,则,,设,
则
,化简得,解之得,或(舍)
答:的长度为
⑵设,则,

设,,令,因为,得,当时,,是减函数;当 时,,是增函数,
所以,当时,取得最小值,即取得最小值,
因为恒成立,所以,所以,,
因为在上是增函数,所以当时,取得最小值.
答:当为时,取得最小值
．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知复数, , ,求:(1)求的值; (2)若,且,求的值.
【答案】解:(1)∵,,
,∴cos(αβ)=.
(2)∵,∴0<α-β<π,由(1)得cos(αβ)=,
∴sin(αβ)=. 又sinβ=,∴cosβ= .
∴sinα=sin[(αβ)+β]=sin(αβ)cosβ+cos(αβ)sinβ=×.
．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的值域.
【答案】解:(Ⅰ)因为,且,所以,.
因为
.所以. 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得. 所以
,. 因为,所以,当时,取最大值;当时,取最小值.
所以函数的值域为
．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）在三角形ABC中,已知,设∠CAB=α,
(1)求角α的值;
(2)若,其中,求的值.
【答案】解:(1)由,得
所以,又因为为三角形的内角,所以,
(2)由(1)知:,且,所以
故
=
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）某企业有两个生产车间分别在、两个位置,车间有100名员工,车间有400名员工.现要在公路上找一点,修一条公路,并在处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐.已知、、中任意两点间的距离均有,设,所有员工从车间到食堂步行的总路程为.
(1)写出关于的函数表达式,并指出的取值范围;
(2)问食堂建在距离多远时,可使总路程最少
A
B
C
D
第17题图

【答案】解:(1)在中,,
,则
,其中
(2)
令得.记
当时,,
当时,,
所以在上,单调递减,
在上,单调递增,
所以当,即时,取得最小值
此时,,

答:当时,可使总路程最少
．（2010年高考（江苏））某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大

【答案】(1)
．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）若实数、、满足,则称比接近.
(1)若比3接近0,求的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数、,证明:比接近;
(3)已知函数的定义域.任取,等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
【答案】解:(1) xÎ(-2,2);
(2) 对任意两个不相等的正数a、b,有,,
因为,
所以,即a2b+ab2比a3+b3接近;
(3) ,kÎZ,
f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期T=p,函数f(x)的最小值为0,
函数f(x)在区间单调递增,在区间单调递减,kÎZ
．（2012年江苏理）在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】解:(1)∵,∴,即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵ ,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) ,得,解得.
∵,∴.∴.
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知,,设函数,
(Ⅰ)求函数的零点;
(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)解:由题意:,
令,得 ,
所以,或
由,,得
由,,得.
综上,函数的零点为或
(Ⅱ)解:
因为,所以
当,即时,的最大值为;
当,即时,的最小值为
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量,,函数.
(Ⅰ)求的最大值,并求取最大值时的取值集合;
(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边,且,,成等比数列,角为锐角,且,求的值.
【答案】解:(Ⅰ)

故,此时,得,
∴取最大值时的取值集合为
(Ⅱ),,,
,
由及正弦定理得于是

．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
C
B
A

【答案】本题主要考察利用正余弦定理解三角形.二次函数的最值.以及三角函数的基本关系.两角和的正弦等基础知识,考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.
解:(1)∵,
∴∴,
∴
根据得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵即
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由正弦定理得(m)
乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内
法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
C
B
A
D
M
N

．（2013江苏高考数学）本小题满分14分.已知,.
(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.
【答案】本题主要考查平面向量的加法.减法.数量积.三角函数基本关系式.诱导公式等基础知识,考查运算能力与推理论证能力
解:(1)∵ ∴ 即,
又∵,∴∴∴
(2)∵ ∴即
两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道,是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点,分别落在线段上.已知米,米,记.
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域;
(Ⅱ)若,求此时管道的长度;

(Ⅲ)问:当取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

【答案】解:(Ⅰ),,
由于,,
,.
所以 ,
(Ⅱ)时,,;
(Ⅲ)=,设,
则,由于,
所以 ,在 内单调递减,于是当时. 的最小值米
答:当时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为米

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