第八讲三角函数的图像与性质.doc

三角函数的图像与性质【基础回顾】一、基础知识：（一）.三角函数图象的作法：1几何法（利用三角函数线）；2描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）；3利用图象变换作三角函数图象（二）三角函数的图象和性质函数性质定义域图 象值 域奇偶性对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_对称中心：_周 期单调性单调增区间：_单调减区间：_单调增区间：_单调减区间：_单调增区间：_最值 时; 时 时; 时无最值（三）的图象和性质1用“五点法”作或的图象时，五点的横坐标总由=_、_、_、_、_来确定2的图象可由的图象经过_变换、_变换和_变换得到3当函数表示一个简谐运动时，则A叫做_，T=叫做_，叫做_，叫做_，叫做_（四）的图象变换：1.图象变换：(1)相位变换：，把图象上所有的点向_或向_平移_个单位；(2)周期变换：把图象上各点横坐标变为原来的_倍；(3)振幅变换：把图象上各点的纵坐标变为原来的_倍2.变换过程：函数，其中的图象可以由的图象经过如下变换得到：(1) 先相位后周期： ；(2) 先周期后相位： =；（五）的奇偶性：要判断形如或的函数的奇偶性，应先把函数化为或的形式是奇函数_，是偶函数_是奇函数_，是偶函数_（六）周期函数：一般地对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）函数或，且为常数的周期，函数的周期二、基础达标：1(2011宿迁模拟)已知函数yf(x) (x0,2)的导函数yf(x)的图象，如图所示，则yf(x)的单调递增区间为_2(2011常州模拟)已知函数f(x)2sin(x)，x0，则f(x)的值域是_3设函数ysin(x)，若对任意xR，存在x1，x2使f(x1)f(x)f(x2)恒成立，则|x1x2|的最小值是_4sin1、sin2、sin3的大小关系是_5函数ysinxcosxcos2x的图象的一个对称中心是_【典型例题】例题1：(1)已知函数y2sin(2x) 求它的振幅、周期、初相； 用“五点法”作出它在一个周期内的图象； 说明y2sin(2x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到(2)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)的图象的一部分如图所示求函数f(x)的解析式 例题2：求下列函数的最大值和最小值(1)yacosxb；(2)y2cos(2x)1，x0，；(3)y3cos2x4sinx1.例题3：已知向量a(sinx,2sinx)，b(2cosx，sinx)，定义f(x)ab.(1)求函数yf(x)，xR的单调递减区间；(2)若函数yf(x)(00，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是_2已知函数f(x)Asinx(0)的最大值为2，最小正周期为8，则f(1)f(2)f(2012)的值等于_3(2011连云港模拟)若f(x)asinx3cosx是偶函数，则实数a_.4(2011福州模拟)已知f(x)sin(x)(0)的图象与y1的图象的相邻两交点间的距离为，要得到yf(x)的图象，只需把ycos2x的图象向_平移_个单位5 (2010南通模拟)已知函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线yb(0b0)的最小正周期T，振幅A及函数表达式(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的800至2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？14设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=ab.（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数0，若y=f()在区间上是增函数，求的取值范围；（3）设集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求实数m的取值范围.【拓展提高】1(山东高考)函数，的图象是_yxOyxOyxOyxO(1)(2)(3)(4)2已知，函数当时，.（1）求常数的值；（2）设，且，求的单调区间【总结反思】三角函数的图像与性质【基础回顾】1. 解析：由图象知在(0，)上f(x)0，所以函数yf(x)在0，上单调递增 答案：0，2解析：0x，x，sin(x)1，f(x)2.答案：，23解析：由f(x1)f(x)f(x2)恒成立，可得f(x1 )为最小值，f(x2)为最大值，|x1x2|的最小值为半个周期答案：24解析：213sin(1)sin3即sin2sin1sin3.答案：sin2sin1sin35解析：由题可知，函数ysin2xcos2xsin(2x)，令2xk，kZ，则xk，kZ，所以函数图象的对称中心为(k，)，kZ，当k1时，对称中心为(，)答案：(k，)，kZ【典型例题】例题1：自主解答 y2sin(2x)的振幅A2，周期T，初相.令X2x，则y2sin(2x)2sinX.列表，并描点画出图象：xX02ysinX01010y2sin(2x)02020法一：把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin(x)的图象，再把ysin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin(2x)的图象，最后把ysin(2x)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin(2x)的图象法二：将ysinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin2x的图象；再将ysin2x的图象向左平移个单位，得到ysin2(x)sin(2x)的图象；再将ysin(2x)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin(2x)的图象 (2) 自主解答由图象可知A2，T8.T8，.法一：由图象过点(1,2)得2sin(1)2，sin()1.|0时，函数的最大值为ab，最小值为ab. 当x2k，kZ时取得最大值当x2k，kZ时取得最小值当a0时，函数最大值为ab，最小值为ab.当x2k，kZ时取得最大值，当x2k，kZ时取得最小值(2)0x，2x.1cos(2x).12cos(2x)12.当x0时，函数y2cos(2x)1的最大值为2；当x时，函数y2cos(2x)1的最小值为1.(3) y3cos2x4sinx133sin2x4sinx13(sin2xsinx)43(sinx)2.又1sinx1，当sinx时，函数y3cos2x4sinx1的最大值为；当sinx1时，函数y3cos2x4sinx1的最小值为3.例题3：解：f(x)2sinxcosx2sin2xsin2x2sin2xcos2x2sin(2x)(1)令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间是k，k，kZ.(2)易得f(x)2sin(2x2)，因函数yf(x)(0)为偶函数，故可知yf(x)(0)在x0处取得最值，得sin(2)1，2k，kZ，又00)的最小正周期是，求的值由T，.答案：2解析：由题意可知，A2，所以f(x)2sinx，所以f(1)f(2)f(8)0，故f(1)f(2)f(2012)f(1)f(2)+ f(3) + f(4)22.答案：223解析：因为ysinx是奇函数，而ycosx是偶函数，所以a0.答案：04解析：由已知条件知yf(x)的最小正周期为，故2，f(x)sin(2x)cos(2x)cos(2x)，把ycos2x的图象向右平移个单位可得到yf(x)的图象答案：右，5解析：与直线yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8知函数的周期为T82，得，再由三角函数的图象与直线yb(0bA)知：2与4的中点必为函数的最大值的横坐标，由五点法知3得，则f(x)的单调递增区间是2kx2k得x6k,6k3(kZ)答案：6k,6k3(kZ)6解：(1)f(x)2sin2x2sinxcosx11cos2xsin2x12sin(2x)2由2k2x2k(kZ)，得yf(x)的单调递增区间为k，k(kZ)7解析：当|MN|最小时，点M，N必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M(，)，N(，)，根据两点间距离公式得|MN|.答案：8解析：对于，f(x)sin(2x)cos(2x)cos(2x)，故错；对于，当x时，f()sin2()sin()1，故正确；对于，g(x)sin2x的图象向右平移个单位得到的图象解析式为ysin2(x)sin(2x)，故错；对于，f(x)的周期为，故当时，f(x)f(x3)，所以正确答案：9解析：ycos(x)ysinx是奇函数；由sincossin()的最大值为，所以存在实数，使得sincos；错误；把x代入ysin(2x)sin1，所以点(，0)不是函数ysin(2x)的对称中心答案：10111解：(1)f(x)abcos2sincoscosxsinxsin(x)，令2kx2k，kZ，则2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为2 k，2k，kZ.函数f(x)在区间，上的简图如下：(2)证明：法一：由(1)知，f(x)sin(x)，f(x)cos(x)，x，x，f(x)cos(x).函数f(x)的图象在区间，上不存在与直线yx平行的切线法二：f(x)sinxcosxsin(x)，x，x，f(x)sin(x)1时才可对冲浪者开放，cost11，cost0，2kt2k，kZ即12k3t12k3，kZ 0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.在规定的800至2000之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即900至1500.14（1）；（2）；（3）；【拓展提高】1（1）；2（1），单调递增区间，单调递减区间： 15