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专题二第一讲-三角函数的图像与性质第一讲 三角函数的图像与性质例1、已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数。解：（1）1sinx1 sinx。又函数y=tanx在x=k+(kZ)处无定义，且（，）,（, ），令sinx=，则sinx=解之得：x=k (kZ)f(x)的定义域是A=x|xR，且xk，kZtanx在（，）内的值域为（，+），而当xA时，函数y=sinx的值域B满足（，）B，f(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定义域知，f(x)在0，中的x=和x=处无定义。设t=sinx，则当x0, )（，）（，）时，t0, (,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。又当x0，时，函数t=sinx单调递增，且t0, 当x（，时，函数t=sinx单调递增，且t（, 当x，时，函数t=sinx单调递减，且t（, 当x（，）时，函数t=sinx单调递减，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在区间0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。又f(x)是奇函数，所以区间（，0，也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。故在区间（，）中,f(x)的单调递增区间为：，（，），（，单调递减区间为。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+（kZ）sinx=k+(kZ) 又1sinx1，k=0或k= 1当k=0时，从得方程sinx=当k=1时，从得方程sinx= +显然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2个解，故f(x)=tan在区间（，）上共有4个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例2、设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）若、为方程的两个根，且、的终边不共线，求的值。 解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， .说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得. 由的图象关于点M对称，得，取得所以， .当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得. 例4、已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力. 解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）第一讲 三角函数的图像与性质班级_姓名_一、 填空题1. y=|sin（x+）|的单调增区间为_.2. 要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移_单位.3. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为_.4. 若，则的取值范围是_.5. 把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是_.6. 设，则它们的大小关系为_.7. 函数f(x)=() 的值域是_.8. 已知，且在区间有最小值，无最大值，则_ 9. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是_.10. 若函数，则的最大值为_.11. 已知函数的图像如图所示，则 。12、当，不等式成立，则实数的取值范围是_.13、已知且,则的值为_.14、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 二、解答题15、设函数，其中向量，且的图象经过点。（1）求实数的值；（2）求函数的最小值及此时值的集合16、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（1）求A , 的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 17、设函数（1）求的最小正周期 （2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值18、设函数f（x）=asinx+bcosx（0）的最小正周期为，并且当x=时，有最大值f（）=4.（1）求a、b、的值；（2）若角a、的终边不共线，f（a）=f（）=0，求tan（a+）的值.19、设函数，其中向量，且的图象经过点（1）求实数的值； （2）求函数的最小值及此时值的集合 (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量平移得到的图象,求向量。20、设函数，给出下列三个论断： 的图象关于直线对称； 的周期为； 的图象关于点对称 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明第一讲 三角函数的图像与性质答案1、k+，k+（kZ）2、3、4、5、，6、7、-1,08、9、10、11、012、k113、14、15、解：（1），由已知，得（2）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为16、解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中MNP=120，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得,故060，当=30时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30时，折线段道MNP最长解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=即故从而，即当且仅当时，折线段道MNP最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；点N在线段MP的垂直平分线上等17、解：（）= = = 21世纪教育网 故的最小正周期为T = =8 ()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而21世纪教育网 = = 当时，因此在区间上的最大值为 21世纪教育网 解法二： 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知当时，因此在上的最大值为 .18、解：（1）由=，0得=2. f（x）=asin2x+bcos2x.由x=时，f（x）的最大值为4，得（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2+）=4sin（2+）=0.sin（2+）sin（2+）=0. cos（+）sin（）=0、的终边不共线，即k（kZ）， 故sin（）0.+=k+（kZ）.tan（+）=.19、（1）（2）(3)(4) 20、或，证明略22