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专题二第一讲-三角函数的图像与性质

第一讲 三角函数的图像与性质
例1、已知函数f(x)=tan(sinx)
（1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间；
（3）判定方程f(x)=tanπ在区间（－π，π）上解的个数。
解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ+(k∈Z)处无定义，且（－，）[－,]（－π, π），
∴令sinx=±，则sinx=±解之得：x=kπ± (k∈Z)
∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}
∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。
设t=sinx，则当x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0, ∪(,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。
又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,
当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,
当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,
当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）
∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－，），（，单调递减区间为。
（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π（k∈Z）
sinx=k+(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴
∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx=
当k=1时，从①得方程sinx= －+
显然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。
说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。

例2、设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）若、为方程的两个根，且、的终边不共线，求的值。
解：(1) ， ， ， 又 的最大值
， ① ， 且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
.
说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。
解：由是偶函数，得，即，
所以,
对任意x都成立，且，所以得，
依题设，所以解得.
由的图象关于点M对称，得，
取得所以
，
…，
….
当k=0时，上是减函数；
当k=1时，上是减函数；
当时，上不是单调函数.
所以，综合得.

例4、已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．
命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.
解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）

．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）
第一讲 三角函数的图像与性质
班级_________________姓名____________________
一、 填空题
1. y=－|sin（x+）|的单调增区间为___________________.
2. 要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移______单位.
3. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为______________.
4. 若，则的取值范围是_____________.
5. 把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是__________________.
6. 设，，，则它们的大小关系为____________.
7. 函数f(x)=() 的值域是_________________.
8. 已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．
9. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是______________.
10. 若函数，，则的最大值为________________.
11. 已知函数的图像如图所示，则 。
12、当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.
13、已知且,则的值为______________.
14、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．
二、解答题
15、设函数，其中向量，，，且的图象经过点。（1）求实数的值；（2）求函数的最小值及此时值的集合．

16、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120
（1）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

17、设函数．
（1）求的最小正周期．
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

18、设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角a、β的终边不共线，f（a）=f（β）=0，求tan（a+β）的值.

19、设函数，其中向量，，，且的图象经过点．
（1）求实数的值； （2）求函数的最小值及此时值的集合．
(3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量平移得到的图象,求向量。

20、设函数，给出下列三个论断：
①的图象关于直线对称； ②的周期为；
③的图象关于点对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．

第一讲 三角函数的图像与性质答案
1、［kπ+，kπ+］（k∈Z）
2、
3、
4、
5、，
6、
7、[-1,0]
8、
9、
10、
11、0
12、k≤1
13、
14、①②
15、解：（1），
由已知，得．
（2）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为
16、解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当 是，
又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故

0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等
17、解：（Ⅰ）=
=
= 21世纪教育网
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：
在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
　　由题设条件，点在的图象上，从而21世纪教育网

　　　　　　　　　 =
=
当时，，因此在区间上的最大值为
　　　 21世纪教育网
　　解法二：
因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于
　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值
　　由（Ⅰ）知＝当时，
　　　因此在上的最大值为 .
18、解：（1）由=π，ω＞0得ω=2. ∴f（x）=asin2x+bcos2x.
由x=时，f（x）的最大值为4，得
（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.
∴sin（2α+）－sin（2β+）=0. ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0
∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.
∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.
19、（1）
（2）
(3)
(4)
20、或，证明略

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