人教A版高中数学必修四第一章三角函数《三角函数的图像与性质》学习过程.doc

精诚凝聚 =_= 成就梦想 1.4三角函数的图像与性质学习过程知识点1：正弦函数余弦函数的图象（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象.把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A，那么A与AA长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.（1） 正切函数y=tanx的图像：知识点2：五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握知识点3：奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。(2)正弦函数观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)=f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数y=x, y= 都是奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。知识点4：.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.有关对称轴：观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x= kZy=cosx的对称轴为x= kZ学习结论1正弦函数余弦函数的图象2五点法作图正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3性质：（1）周期性：正余弦函数都是周期函数，2k (kZ)都是它的周期，最小正周期是2；正切函数。（2）奇偶性：函数y=sinx是奇函数，函数y=cosx是偶函数；正切函数是奇函数。（3）单调性：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其 值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.正切函数在区间上函数单调递减。典型例题例1、画出下列函数的简图：（1） y1sinx ，0，（2）cosx ，0，解析：（1） 按五个关键点列表：x02Sin00101+ Sin12101描点、连线，画出简图。 (2)按五个关键点列表：x02Cosx10-101- Cosx-1010-1描点、连线，画出简图。例题2 （1）化简：（2）已知非零常数满足，求的值；（3）已知求值：（1）；（2）解析：（1）（2）（3）两式平方相加得；两式平方相加得即例题3求下列函数的周期：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）解析：（1），周期为；（2），周期为；（3） 周期为；（4），周期为；（5），周期为例4：用图象求函数的定义域。解析：由 得 ，利用图象知，所求定义域为，0亦可利用单位圆求解。0TA 点亮心灯 /(v) 照亮人生