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2020-2021高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时作业新人教A版必修4

2020-2021高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时作业新人教A版必修4

年级：
姓名：

1.6

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)
A. B．50
C. D．100
解析：T＝＝.
答案：A

2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
答案：C
3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
x
1
2
y
10 000
9 500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元　B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y＝9 000.
答案：C

4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)
A．2 s B．1 s
C. s D. s
解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
答案：C
5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案：80

7．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.
解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，则ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
答案：
8．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 °C,12月份的月平均气温最低，为18 °C，则10月份的月平均气温为________ °C.
解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．
解析：(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)．
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
10．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin (100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
[能力提升](20分钟，40分)

11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：由题意知，函数的周期为T＝60，∴|ω|＝＝.
设函数解析式为y＝sin.
∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝，∴sinφ＝，
∴φ可取，∴函数解析式可以是y＝sin.又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，故y＝sin，故选C.
答案：C
12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．

解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示

由已知可得OQ＝3，OP＝6，
则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，
则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，
又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，
故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．
答案：5
13．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0

P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．

(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t时刻的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
解析：(1)散点图如图所示，

(2)由(1)知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．