第一讲：函数的概念.doc

第一讲：函数的概念

【例1】⑴已知，求．

⑵已知，求．

⑶已知的定义域是，求：①的定义域；②的定义域

⑷已知实数，函数若，则的值为　　　．

【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，．
⑴求时的解析式；
⑵若关于的方程有三个不同的解，求的取值范围；
⑶是否存在正数，当时，，且的值域为．若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【例3】已知，，函数的最小值为．
⑴求的解析式；
⑵是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【例4】已知二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，且有，当时，恒有．
（1）当，时，解不等式；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；
（3）若，且，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【课堂演练】
1．函数的定义域为　　　　　．
2．已知则　　　　　．
3．已知，求的表达式及定义域和值域．

4．若函数的定义域和值域都是，求与的值．
5．已知为常数，若，，则　　．
6．设函数若，则实数的取值范围是　　　　　．
7．已知定义域为的函数满足．
⑴若，求；若，求；
⑵设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式．

8．已知二次函数（为常数且）满足条件，且方程有两个相等的根．
⑴求的解析式；
⑵是否存在实数使的定义域和值域分别为和．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

第一讲：函数的概念
【例1】
⑴已知，求．
⑵已知，求．
⑶已知的定义域是，求：①的定义域；②的定义域
①；②
⑷已知实数，函数若，则的值为　　　．
当时，得（舍）；当时，．
【例2】已知是定义在上的奇函数，当时，．
⑴求时的解析式；
⑵若关于的方程有三个不同的解，求的取值范围；
⑶是否存在正数，当时，，且的值域为．若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
解：⑴任取，则．．为奇函数，．
⑵方程有三个不同的解，由的图象知，．．
⑶由⑴知，当，，若存在正数满足题意，则，即．又函数在上是减函数，解得，解得．存在满足题意．
【例3】已知，，函数的最小值为．
⑴求的解析式；
⑵是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：⑴由，知识．令，令，则的对称轴．故有①当时，的最小值．②当时，的最小值．③当时，的最小值．综上，
⑵当时，，故时，在上为减函数，所以在上的值域为．由题意，则有两式相减得．又，．这与矛盾．不存在满足条件的的值．
【例4】已知二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，且有，当时，恒有．
（1）当，时，解不等式；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；
（3）若，且，对所有，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当，时，，的图像与轴有两个不同交点，因，设另一个根为，则，所以，于是的解集．
（2）的图像与轴有两个交点，因，设另一个根为，则故．所以三交点的坐标标分别为．
又当时，恒有，则，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为，故，于是．
（3）当时，恒有，则，
所以在上是单调递减的，且在处取到最大值1．
要使，对所有，恒成立，必须成立，即．
令，对所有，恒成立，只要即 解得实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2．
【课堂演练】
1．函数的定义域为　　　　　．
2．已知则　　　　　．
3．已知，求的表达式及定义域和值域．
4．若函数的定义域和值域都是，求与的值．
5．已知为常数，若，，则　　．
或
6．设函数若，则实数的取值范围是　　　　　．
7．已知定义域为的函数满足．
⑴若，求；若，求；
⑵设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式．
解：⑴，．又，．若，则
⑵，对任意，有．令，得．又，．若，则，但方程有两个不同实根，与题设矛盾．故，，即．
8．已知二次函数（为常数且）满足条件，且方程有两个相等的根．
⑴求的解析式；
⑵是否存在实数使的定义域和值域分别为和．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
解：⑴由可知，．又方程有两个相等的根，即，．．
⑵，．．函数在上单调递增．假设存在实数使的定义域和值域分别为和，则有即是方程的两根，由，得，．