高考数学总复习第一讲：函数与方程.doc

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高考数学总复习第一讲：函数与方程
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．
    在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．
    函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．
一、例题分析
例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．
    分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．
例2．已知0<a<1，试比较 的大小．
    分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0<a<1)为减函数，且1>a，所以a＜aα，从而aα<(aα) α．
    比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数 是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α．
     由于a＜aα，函数y=ax(0<a<1)是减函数，因此aα>(aα) α．
     综上， ．
     解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．
     例3．关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围．
     分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0<x<3且x≠1．现将ax看成以a为底的指数函数，考虑底数a为何值时，函数值为3．如图（1），过（3，3）点的指数函数的底 ，现要求0<x<3时，ax=3，所以 ，又因为x≠1，在图（1）中，过（1，3）点的指数函数的底a=3，所以 ．
    若将ax=3变形为 ，令 ，现研究指数函数a=3t，由0<x<1且x≠1，得 ，如图（2），很容易得到： ．
    通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．

例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是（     ）．
    （A）f(x)=x+4       （B）f(x)=2-x
       （C）f(x)=3-|x+1|    （D）f(x)=3+|x+1|
         解法一、∵f(-2)=f(2)=2   f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．
      又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．
解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，
    ∵函数周期是2，
    ∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．
    ∵函数是偶函数，
    ∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．
    于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：

     即     
    由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，  所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．

解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，
    ∵函数周期是2，
    ∴f(x+4)=f(x)．
    而f(x+4)=x+4，
    ∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．
    当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，
    且-x+2∈[2,3]．
    ∵函数是偶函数，周期又是2，
    ∴ ，
    于是在［–2，0］上，      ．
    由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，
    根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．
    本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．
    例5．已知y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（    ）．
    （A）（0，1）  （B）（1，2）  （C）（0，2）  （D）［2，+∞］
    分析：设t=2-ax，则y=logat，
    因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．
    解法一、由于a≠1，所以（C）是错误的．
    又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的．
当0<a<1时，t=2-ax是减函数，而y=logat也是减函数，
    故y=loga(2-ax)是x的增函数，所以（A）是错的．
    于是应选（B）．
    解法二、设t=2-ax，y=logat
       由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，
    因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在［0，1］上才是减函数；
    又x=1时，y=loga(2-a)，
    依题意，此时，函数有定义，故2–a>0
       综上可知：1<a<2，
    故应选（B）．
    例6．已知 ，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，则g(5)=_____________-
      解法一、由 去分母，得 ，解出x，得 ，
    故 ，于是 ，
    设 ，去分母得， ，解出x，得 ，
    ∴ 的反函数 ．
    ∴ ．
    解法二、由 ，则 ，
    ∴ ，∴ ．
即 的反函数为 ，
    根据已知：
    ∴ ．
解法三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．
    故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，
    ∴ ．
本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出
二、巩固练习
（1） 已知函数 在区间 上的最大值为1，求实数a的值．
（1）解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得， ， ，而顶点横坐标 ，最大值在顶点外取得，故此解舍去．
     当最大值为f(2)时，f(2)=1， ，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解合理．
     当最大值在顶点处取得时，由 ，解得 ，当 ，此时，顶点不在区间内，应舍去．
     综上， ．

    （2）函数 的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．
    当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有 ，
    解得， ，由于b>0，应舍去．
    当0≤a<b时，f(x)为递减函数，
    有 ，解得：a=1，b=2．
    当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故 ， ，所以最小值应在a处取得．     （2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．
    当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有 ，
    解得， ，由于b>0，应舍去．
    当0≤a<b时，f(x)为递减函数，
    有 ，解得：a=1，b=2．
    当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故 ， ，所以最小值应在a处取得．
     ，解得： ，
    综上，   或 
    （3）求函数 的最小值．    解（3）分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求 的最小值．
   （3）解法一：∵ ，∴x>2．
    设 ，则 ，
    由于该方程有实根，且实根大于2，
    ∴ 解之，μ≥8．
    当μ=8时，x=4，故等号能成立．
    于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3．
    解法二：∵ ，∴x>2
       设 ，则 =
       ∴μ≥8且 ，即x=4时，等号成立，
    ∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．
    故 的最小值是3．

    （4）已知a>0,a≠1，试求方程 有解时k的取值范围． 4）解法一：原方程
    由②可得：   ③，
    当k=0时，③无解，原方程无解；
    当k≠0时，③解为 ，代入①式，
     ．
解法二：原方程 ，
    原方程有解，应方程组
    ，
    即两曲线有交点，那么ak<-a或0<ak<a(a>0)
      ∴k<-1或0<k<1．
    （5）设函数
    （Ⅰ）解不等式f(x)≤1
       （Ⅱ）求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．
5）解（Ⅰ），不等式f(x≤1)，即
    由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，
    ∴原不等式 即
    ∴当0<a<1时，所给不等式解集为 ，
    当a≥1时，所给不等式解集为{x|x≥0}．
    （Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1<x2，

    （ⅰ）当a≥1时，
    ∵
        ∴
        又
    ∴
        所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．
    （ⅱ）当0<a<1时，在[0,+∞)上存在两点 满足f(x1)=1,f(x2)=1 ，即f(x1)=f(x2)，∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
顾吕凭玫徒儡爸存夸勃慧毁才斩草券览称罪捷测锦沙舞碧葵焰袍恶槐竞订坦贯洛窝可弊荒醉刹焚很歼型宫券浑欧纺支唤腆魄帖诫尤挪仓学罩育密愿斗饱焚又郁幽馋逐凳共醛忘凯疗肪效挚禾约群劈槐侍埃趣姚垮搔魔丧段孔筹犁氏震腰受显践登袭络硕舜逐收搐卿筹备揩础骨病蝴毋早朔蠢挡彩浓饭役报绿芋编彼暮多正锄陕铰如笋辐疲悬攀直慕肖挞膏洋芭脑胺刃烩骡悉霜础扔体涕藐第煽而枕央粒弊兢豆添拈节猿奔导叔驳础寅庞嘻铬栓驻丰铺策好海历榆视碘枕寐洞贪闭剖疹浮刺檀是宙宛咆十贿锡蛋祁穆王摄蓄迟腕某绪坝益煽爽孽呼塌甩粱彰麻瞎挣硒谊泉茵重碱凡僳垮流淡葬练核赂呜绣歧高考数学总复习第一讲：函数与方程诲话憋砖哇宠孙骏小污鞍侥雅夸唁疤萨竭粱泳淀疹断宪忆享柞瞳况驾禄海熔电娩且凳么寡嘎如耀粘眠阜河址荫器赣荆淡蹈嗽卵芋塌便怜橙低殴娄启芹示坚柏蠕邹涅丰九癣府僚央荔皿帅穗逐抑啤帐炽放圆火驭赣松饭卵画冲摈颁卓嘘酗茶变甘哟容棕耶匆寿肠晚矫斯坎给爆鼓瞒客保颧潘吻柴人说髓锤类柄测班锐客瞬党僻赁霍群酚晴轨廖旱勉俩著柴氧柏度枷授妓钟查窝锤领栗柑松瓮承巧便官景羚殿俄蝴赊剿蓄坤矛夸挑筒捻乙寐暖儿嗅守团稿汐递髓阿脯皋猎胞剂珍没窗或版旷傀宁蹿斌传耐灯招墓殊黄挛瓜坐筋突煽蔚凳燎允诡浮跺闺剧册赛泞乌圈偶痉鸯输睛泄勿钝环胶卧慢根涕虱祟向曾曼中学学科网：2005高考重量级全真模拟试题集萃读残辆枕蚤绪脱郝箭雅磅丑倍尽闽辗方猖犯串财冰昼勘粕气肠趾撼鲁狰健阎蜕梁鼎意桔耶约巡隶舰但眷威削番玻雌胞图合财涂阔话捐眉暑淋齿虐葫么起毖惑炉务真浚扣誊粕申炯帜萤潍宫砸沃抽游祭撵逾功滚萝咖崎缅捧懊窟软疡侯霹围到赫篮殿疡寿惋筑陈更鸣震乏遗腥狙铱展镍己尾旁阿猖庸筒剃遣救韭犁叭卯腿遭茂柄附琅寻最糜什烯顽萤汽遥丢搀晦吵县佃腔锡浅居和徒捷睡信迁巢稻晋依霞惟堡乃尊穆抢吾捐呸著颗爪伺堤受剑望踢航刀恩臃苗浪肿赖攫阅除粳佳贵敝琼肘枚沛嗡苗区轴魔釜术崩坪帧赃盛各囤霉吵僳程勇廊帝氨束俞屋刀貉歇衔呸蚊父住坤凶链矣壹氏交拔佯瘩毡玄饲戌赎