专题一第一讲函数的图象与性质.doc

第一讲　函数的图象与性质

1．(2013·高考广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
2．(2013·高考湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．周期函数
3．(2013·辽宁五校第二次联考)设映射f：x→－x2＋2x－1是集合A＝{x|x>2}到集合B＝R的映射．若对于实数p∈B，在A中不存在对应的元素，则实数p的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
4．(2013·高考北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
5．设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f∘g)(x)和(f·g)(x)：对任意x∈R，(f∘g)(x)＝f(g(x))；(f·g)(x)＝f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是(　　)
A．((f∘g)·h)(x)＝((f·h)∘(g·h))(x)
B．((f·g)∘h)(x)＝((f∘h)·(g∘h))(x)
C．((f∘g)∘h)(x)＝((f∘h)∘(g∘h))(x)
D．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)
6．(2013·高考大纲全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.
7．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝(1－x2)·(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．
8．(2013·江西省高三上学期七校联考)已知函数y＝f(x)在R上是偶函数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，>0，给出如下命题：
①函数y＝f(x)在[－9，6]上为增函数；
②直线x＝－6是y＝f(x)图象的一条对称轴；
③f(3)＝0；
④函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
9．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

10．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围．

答案：
第一讲　函数的图象与性质
1．【解析】选C.这四个函数的定义域都是R.因为(－x)3＝－x3，2sin(－x)＝－2sin x，故y＝x3和y＝2sin x都是奇函数．因为(－x)2＋1＝x2＋1，所以y＝x2＋1是偶函数．因为2－x≠－2x，2－x≠2x，所以y＝2x既不是奇函数也不是偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.
2．【解析】选D.函数的图象(图象略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D.
3．【解析】选B.令y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，当x>2时，y<－1，而对于实数p∈R，在A＝{x|x>2}中不存在对应的元素，所以p的取值范围是[－1，＋∞)，故选B.
4．【解析】选D.曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.
5．【解析】选B.对A选项((f∘g)·h)(x)＝(f∘g)(x)h(x)
＝f(g(x))·h(x)，
((f·h)∘(g·h))(x)＝(f·h)((g·h)(x))＝(f·h)·(g(x)·h(x))＝f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))，故排除A；
对B选项((f·g)∘h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))·g(h(x))，
((f∘h)·(g∘h))(x)＝(f∘h)(x)(g∘h)(x)＝f(h(x))·g(h(x))，故选B.
对C选项((f∘g)∘h)(x)＝(f∘g)(h(x))＝f(g(h(x)))，
((f∘h)∘(g∘h))(x)＝(f∘h)((g∘h)(x))＝(f∘h)·(g(h(x)))＝f(h(g(h(x))))，故排除C.
对D选项((f·g)·h)(x)＝(f·g)(x)h(x)＝f(x)g(x)·h(x)，
((f·h)·(g·h))(x)＝(f·h)(x)(g·h)(x)＝f(x)·h(x)g(x)h(x)，故排除D.
6．【解析】由于f(x)的周期为2，且当x∈[1，3)时，
f(x)＝x－2，
所以f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
【答案】－1
7．【解析】∵点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，
∴点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上．
∴f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，
f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0.
联立，解得a＝8，b＝15.
∴f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)
＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)
＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)．
令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，
则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)
＝－[(t－1)2－16]＝16－(t－1)2，
当t＝1时，f(x)max＝16.
【答案】16
8．【解析】依题意，f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，即有f(－3)＝f(3)＝0，f(x＋6)＝f(x)，函数f(x)是以6为周期的函数，且f(x)在[0，3]上是增函数，f(－9)＝f(9)＝f(3)，因此函数f(x)在[－9，6]上不是增函数．f(－12－x)＝f(12＋x)＝f(x)，函数f(x)的图象关于直线x＝－6对称，f(－9)＝f(－3)＝f(9)＝f(3)＝0，结合函数f(x)的图象可知，函数f(x)在[－9，9]上有四个零点．综上所述，其中所有正确的命题的序号是②③④.
【答案】②③④
9．【解】(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0，1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0，1)的对称点为B′(x′，y′)，
则∴
∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2.
∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，
即f(x)＝x＋.
(2)g(x)＝x2＋ax＋1，
∵g(x)在[0，2]上为减函数，∴－≥2，
即a≤－4.
∴a的取值范围为(－∞，－4]．
10．【解】(1)∵f(x)＝ex－()x，且y＝ex是增函数，
y＝－()x是增函数，∴f(x)是增函数．
由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，
∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立
⇔t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立
⇔(t＋)2≤(x＋)对一切x∈R恒成立
⇔(t＋)2≤0⇔t＝－.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
11．【解】(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故⇒⇒
②当a<0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故⇒⇒
故a＝1或a＝－1，b＝0或b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，
即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞)．