第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析).doc

导数与导函数的概念
【基础知识点】
1．函数从到的平均变化率为①____________，若，
，则平均变化率可表示为．
2．一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或
3．几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率。
4．导函数的概念：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。
【典例解析】
【典例1】函数满足，则当x无限趋近于0时，
（1）
（2）
变式:设f(x)在x=x0处可导，
（3）无限趋近于1，则=___________
（4）无限趋近于1，则=__________
（5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的
关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】
1．基本初等函数的求导公式：
⑴ (k,b为常数) ⑵ (C为常数)
⑶ ⑷
⑸ ⑹
⑺
⑻ （为常数）
⑼
⑽
⑾ ⑿
⒀ ⒁
2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝（x－x0）；
3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
4．函数的差、积、商的求导法则：
（1）
（2）
（3）
（4）
【典例解析】
【典例1】求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
题型一：点在曲线上
【典例2】已知曲线上一点,则过点的切线方程为 .
解析：过点P的切线的斜率为，那么切线方程为 ，即
．
变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点(1,f(1))处的切线方程为________.
题型二：点不在曲线上
【典例3】过点作抛物线的切线，则其中一条切线为
解析：设切点为 ，切线的斜率为 ，则切线方程为： ，因为点在切线上，故 ，解得 ，或 ，切点为 或 ，故切线方程为 或
变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点.与函数(是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.
2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是__
题型三：已知切线斜率求切线方程
【典例4】求垂直于直线且与曲线相切的直线方程。
解析：设切点为 ，切线的斜率为，解得，切点为 ，切线方程为
题型四：已知切线求参数
【典例5】已知直线是的切线，则的值为
解析：设切点为 ，切线的斜率为，切线方程为 ，即 ，由已知条件得 ，切点为 ， ．
变式：若直线是曲线的切线, 则实数的值为 .
解析：设切点为 ，切线的斜率为，切线方程为
，即 ，，解得 ； ， ．
拓展：点是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离。
题型五：求函数的解析式
【典例6】已知的导数,且,求不等式的解析式.

变式：1．是一次函数,

2．若对任意的有且，则此函数的解析式是 .
3．曲线C：f(x)= ax3+bx2+cx+d关于原点成中心对称，y极小=f(1)=．
（1）求f(x)的解析式；
（2）在曲线C上是否存在点P，使过P点的切线与曲线C除P点以外不再有其它公共点？证明你的结论．
练习：
1．（2005江苏，理14）曲线在点（1,3）处的切线方程是 .
【答案】4x-y-1=0.
2．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案　(－ln 2,2) 解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x＝，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．
3．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.

4．（2008江苏，理8）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是___________.
【答案】ln2－1．
【解析】 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
5．（2009江苏，理9）在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y＝x3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为___________________.
【答案】(－2,15)．
【解析】∵ y′＝3x2－10,设切点P(x0,y0)(x0＜0),则点P处切线斜率k＝3x02－10＝α ,∴ x0＝－2(x0＜0).∴ P(－2,15).
6．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点（1,f（1））处的切线方程为________．
7．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点．与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是__________．
8．（拓展2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是__________．
9．曲线y=与曲线y=在交点处的切线的夹角为__________。
10．设点P是曲线y=x3－x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________

[解析]∵y’=3x2－≥－, ∴tanα≥－
又∵ 0≤α≤∏ ∴0≤α<