(试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧题方法技巧 单选题 1、已知正实数,满足4+1+1=1，则+2的最小值为（）A6B8C10D12 答案：B 分析：令+2=+1 1，用+1分别乘4+1+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4+1+1=1，且,为正实数 所以+1=(+1)(4+1+1)=4+1+4(+1)+1 5+2+14(+1)+=9，当且仅当+1=4(+1)+即=+2时等号成立.所以+2+1 9,+2 8.故选：B.2、下列不等式中成立的是（）A若 0，则2 2B若 0，则2 2 C若 0，则2 2D若 0，则1 0，则2 2错误，如=0时，2=2，所以该选项错误；B.若 0，则2 2=(+)()0,2 2，所以该选项正确；C.若 0,2，所以该选项错误；D.若 0,11，所以该选项错误.故选：B 3、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度 a 匀速跑，后半程以速度b 匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s），若 ，则（）A甲先到达终点 B乙先到达终点 C甲乙同时到达终点 D无法确定谁先到达终点 答案：B 解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，因为 ，所以12(+)2+=(+)+(+)42(+)=()2(+)0，所以12(+)2+，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.4、已知2 3，2 1，则2 的范围是（）A(6,7)B(5,8)C(2,5)D(6,8)答案：B 分析：由不等式的性质求解即可.2 3,2 1，故4 2 6，1 2，得5 2 8 故选：B 5、已知0 2，则=4 2的最大值为（）A2B4C5D6 答案：A 分析：由基本不等式求解即可 因为0 0，则=4 2=2(4 2)2+(42)2=2，当且仅当2=4 2，即=2时，上式取得等号，=4 2的最大值为 2 故选：A 6、不等式(2+7)3的解集为（）A(,3 12,+)B3,12 C(,2 13,+)D2,13 答案：A 分析：解一元二次不等式即可.(2+7)3可变形为22+7+3 0，令22+7+3=0，得1=3，2=12，所以 3或 12，即不等式的解集为(,3 12,+).故选：A.7、若“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）Am1Bm2Cm3Dm4 答案：C 分析：x2+mx2m20），解得2mxm.根据“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，可得2m2，3m，m0.解出即可得出.解：x2+mx2m20），解得2mxm.“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，2m2，3m，(两个等号不同时取)m0.解得m3.则实数m的取值范围是3，+）.故选：C.8、已知实数,满足+=(1,1)，则(1)2+(1)2的最小值为()A2B1C4D5 答案：A 分析：将a-1 和b-1 看作整体，由+=(1,1)构造出(1)(1)=1，根据(1)2+(1)2 2(1)(1)即可求解 由+=(1,1)得+1=1，因式分解得(1)(1)=1，则(1)2+(1)2 2(1)(1)=2，当且仅当=2时取得最小值 故选：A 9、若对任意实数 0,0，不等式+(+)恒成立，则实数a的最小值为（）A212B2 1C2+1D2+12 答案：D 分析：分离变量将问题转化为+对于任意实数 0,0恒成立，进而求出+的最大值，设=(0)及1+=(1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，+对于任意实数 0,0恒成立，则只需求+的最大值即可，+=1+1+，设=(0)，则1+1+=1+1+2，再设1+=(1)，则1+1+=1+1+2=1+(1)2=22+2=1+22 1222=1222=2+12，当且仅当=2=2 1时取得“=”.所以 2+12，即实数a的最小值为2+12.故选：D.10、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 填空题 11、若关于的不等式2(+2)+2 0的解集中恰有 3 个正整数，则实数的取值范围为_ 答案：(5，6 分析：不等式化为()(2)0，根据解集中恰好有 3 个正整数即可求得m的范围.2(+2)+2 0可化为()(2)0，该不等式的解集中恰有 3 个正整数，不等式的解集为|2 ，且5 0)取得最小值时的取值为_ 答案：12 分析：将函数化为()=4+1，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.0,()=4+1 24 1=4，当且仅当4=1 =12时取“=”.所以答案是：12.13、若正数a，b满足2+=1，则22+2的最小值是_ 答案：22312 分析：设=2 2,=2 ，得到22+2=1+232=13(+)(1+2)32，结合基本不等式，即可求解.设=2 2,=2 ，则=22,=2 ，可得+=3(,0)，所以22+2=112+2=1+232=13(+)(1+2)32=13(3+2)3213(3+22)32=1+22332=22312，当且仅当=6 32,=32 3时，等号成立，取得最小值 所以答案是：22312 14、已知,(0,+),，若(+sin2+1)(+3 2sin2)=2，则3+的最小值为_.答案：2 分析：利用基本不等式即可求解.(+sin2+1)(+3 2sin2)=2，4=(2 2+2sin2+2)(+3 2sin2)即4=(2 2+2sin2+2)(+3 2sin2)(22+2sin2+2+32sin22)2=(3+2)24，所以(3+2)2 16，解得3+2，当且仅当2 2+2sin2+2=+3 2sin2时，取等号，所以3+的最小值为 2.所以答案是：2 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知=2 3，=32+3，则，的大小关系是_ 答案：分析：利用作差法直接比大小.=(2 3)(32+3)=42 4+3=(2 1)2+2 0 ,所以答案是：.解答题 16、某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.（1）写出4辆客车运营的总利润(万元)与运营年数()的函数关系式：（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？答案：（1）=16(22+23 50)；（2）这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为 48万元.分析：（1）由题知，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)，进而得利润的表达式=16(22+23 50)；（2）结合（1）得年平均运营利润为=1623 2(+25)，再根据基本不等式求解即可得答案.解：（1）依题意得，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)=200+16(1+)2=200+8(+1)，所以4辆客车运营的总利润=4100 200 8(+1)=16(22+23 50).（2）年平均运营利润为=16(2+23 50)=1623 2(+25)，因为 ，所以+25 2 25=10，当且仅当=5时，等号成立，此时 16 (23 2 10)=48，所以这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元.17、在 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2cos=2 （1）求角A的值；（2）若=5，=5，求 的周长；（3）若2sin+2sin=+3，求 面积的最大值 答案：（1）=3;（2）20;（3）334.解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得cos=12，可求得角A的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出,，即可求得周长；（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）2cos=2 2sin cos=2sin sin,2sin cos=2 sin(+)sin=2(sin cos+cos sin)sin,cos=12,0 1时，解不等式得 1或 ，=1时，不等式恒成立，即 ，1时解集为 1 或 ，=1时解集为R，1时解集为|或 1；（2）因 时，2 2+5=(1)2+4 4，当且仅当=1时取“=”，又不等式2 2+5 2 3对任意实数x恒成立，即有4 2 3，解得1 4，所以实数a的取值范围1,4.19、（1）已知2+2+1 0恒成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式2 2+0.答案：（1）0 1；（2）见解析 分析：（1）分=0、0两种情况讨论，在=0时，直接验证即可，在 0时，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；（2）将所求不等式变形为()(1 )0=42 4 0，解得0 1.综上所述，0 1.（2）由2 2+0得()(1 )时，即当 12时，原不等式的解集为|1 ；当1 =时，即当=12时，原不等式的解集为；当1 12时，原不等式的解集为|1 .综上所述，当 12时，原不等式的解集为|12时，原不等式的解集为|1 .