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(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题技巧总结

单选题
1、要使关于x的方程x2+a2-1x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ）
A．a-1<a<2B．a-2<a<1
C．aa<-2D．aa>1
答案：B
分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.
由题意可得1+a2-1+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1.
故选：B.
2、已知函数y=x-4+9x+1(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（    ）
A．-3B．2C．3D．8
答案：C
分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案
解：因为x>-1，所以9x+1>0,x+1>0，
所以y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥2x+1⋅9x+1-5=1,
当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，
所以y的最小值为1，
所以a=2,b=1，所以a+b=3，
故选：C
3、已知实数a,b,c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是（    ）
A．a+1b<b+1aB．2a+ba+2b<abC．ba-c>ab-cD．3ca<3cb
答案：B
分析：对于A，利用不等式的性质判断；对于CD，举例判断；对于B，作差法判断
解：对于A，因为a>b>0，所以1a<1b，所以a+1b>b+1a，所以A错误，
对于B，因为a>b>0，
所以2a+ba+2b-ab=(2a+b)b-a(a+2b)(a+2b)b =b2-a2(a+2b)b<0，
所以2a+ba+2b<ab，所以B正确，
对于C，当a=2,b=1,c=-1时，ba-c=13<ab-c=1，所以C错误，
对于D，当a=8,b=1,c=-1时，3ca=-12>3cb=-1，所以D错误，
故选：B
4、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（     ）
A．2a2+b2≤(a+b)2B．若1a+4b=2，则 a+b≥92
C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12
答案：B
分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
对于选项A：若a>0，b>0，
由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2a2+b2≥a+b2，
当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若a>0，b>0，
12×1a+4b=1，
a+b=12×1a+4ba+b=125+ba+4ab ≥125+2ba⋅4ab=92，
当且仅当1a+4b=2且ba=4ab，
即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由a>0，b>0，
ab+b2=ba+b=2，
即a+b=2b，
如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；
对于选项D：ab≤a+b22=14，当且仅当a=b=12时取等
则ab有最大值14，所以选项D不正确；
故选：B
5、不等式5x-x2<6的解集为（    ）
A．x|x<2,或x>3B．x|-1<x<2,或3<x<6
C．x|-1<x<6D．x|2<x<3
答案：B
分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.
解：∵5x-x2<6，∴-6<5x-x2<6
∴x2-5x-6<0x2-5x+6>0⇒-1<x<6x<2或x>3⇒-1<x<2或3<x<6
则不等式的解集为：{x|-1<x<2或3<x<6}
故选：B.
6、已知1a<1b<0，则下列结论正确的是（   ）
A．a<bB．a+b<ab
C．a>bD．ab>b2
答案：B
分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
因为1a<1b<0，所以b<a<0，故A错误；
因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；
因为b<a<0，所以a>b不成立，故C错误；
ab-b2=ba-b，因为b<a<0，所以a-b>0，即ab-b2=ba-b<0，所以ab<b2成立，故D错误.
故选：B
7、已知实数a,b满足a+b=aba>1,b>1，则a-12+b-12的最小值为(    )
A．2B．1C．4D．5
答案：A
分析：将a-1和b-1看作整体，由a+b=aba>1,b>1构造出a-1b-1=1，根据a-12+b-12≥2a-1b-1即可求解．
由a+b=aba>1,b>1得a+b-ab-1=-1，因式分解得a-1b-1=1，
则a-12+b-12≥2a-1b-1=2，当且仅当a=b=2时取得最小值．
故选：A．
8、不等式1+5x-6x2>0的解集为（    ）
A．{x|x>1或x<-16}B．x-16<x<1
C．{x|x>1或x<-3}D．x-3<x<2
答案：B
分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘-1，再利用十字相乘法，可得答案，
法一：原不等式即为6x2-5x-1<0，即6x+1x-1<0，解得-16<x<1，故原不等式的解集为x-16<x<1．
法二：当x=2时，不等式不成立，排除A，C；当x=1时，不等式不成立，排除D．
故选：B．
9、下列命题中，是真命题的是（    ）
A．如果a>b，那么ac>bcB．如果a>b，那么ac2>bc2
C．如果a>b，那么ac>bcD．如果a>b，c<d，那么a-c>b-d
答案：D
分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.
对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；    
对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；
对于C，如果c<0，那么ac<bc，故错误；    
对于D，如果c<d，那么-c>-d，由a>b，则a-c>b-d，故正确.
故选：D.
10、已知x∈R，则“x-2x-3≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的（   ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：C
分析：先证充分性，由（x-2）(x-3）≤0 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x-2+x-3|即可，再证必要性，若|x-2+x-3|=1，即|x-2+x-3|=|（x-2）-（x-3）|，再根据绝对值的性质可知（x-2）(x-3）≤0．
充分性：若（x-2）(x-3）≤0，则2≤x≤3，
∴|x-2+x-3|=x-2+3-x=1，
必要性：若|x-2+x-3|=1，又∵|（x-2）-（x-3）|=1，
∴|x-2+x-3|=|（x-2）-（x-3）|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则a+b=|a-b|，
∴（x-2）(x-3）≤0，
所以“（x-2）(x-3）≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的充要条件，
故选：C．
11、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a+9b，则a+b的最小值为（    ）
A．6B．8C．9D．12
答案：B
分析：根据题意，化简得到a+b2=6+1a+9ba+b=6a+b+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.
由题意，可得a+b2=6+1a+9ba+b=6a+b+10+ba+9ab≥6a+b+16，
则有a+b2-6a+b-16≥0，解得a+b≥8，
当且仅当a=2，b=6取到最小值8.
故选：B.
12、下列不等式恒成立的是（    ）
A．a2+b2≤2abB．a2+b2≥-2ab
C．a+b≥-2abD．a+b≤2ab
答案：B
分析：由基本不等式，可判定A不正确；由a2+b2+2ab=(a+b)2≥0，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
由基本不等式可知a2+b2≥2ab，故A不正确；
由a2+b2≥-2ab，可得a2+b2+2ab≥0，即a+b2≥0恒成立，故B正确；
当a=-1,b=-1时，不等式不成立，故C不正确；
当a=0,b=1时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
双空题
13、已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0，若不等式的解集为xx<-3或x>-1，则a的值为_________；若此不等式在R上恒成立，则a的取值范围为_________.
答案：     -1     -34,0
分析：由题意可得-3和-1是方程ax2+4ax-3=0的两个根，然后利用根与系数的关系列方程组可求得a的值；由于不等式在R上恒成立，所以分a=0和a≠0两种情况求解即可.
因为不等式ax2+4ax-3<0的解集为xx<-3或x>-1，
所以-3和-1是方程ax2+4ax-3=0的两个根，且a<0，
所以-3+(-1)=-4aa-3×(-1)=-3a，解得a=-1；
因为不等式ax2+4ax-3<0在R上恒成立，
所以当a=0时，-3<0符合题意，
当a≠0时，则a<0Δ=16a2+12a<0，解得-34<a<0，
综上，a的取值范围为-34,0.
所以答案是：-1，-34,0.
14、珍珠棉是一种新型环保的包装材料．某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x（1<x<10）万元，珍珠棉的销售量可增加p=10xx+1吨，每吨的销售价格为3-8p万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投入其他成本p2万元．当x=______万元时，该公司在本季度增加的利润y最大，最大利润为______万元．
答案：     4     8
分析：根据题中等量关系，列出函数解析式，对函数进行变形，再结合基本不等式，即可求解
因为1<x<10，所以由题意得
y=p3-8p-x-p2=10xx+13-4x+45x-x-5xx+1=17-25x+1-x
=18-25x+1+x+1 ≤18-225x+1⋅x+1=8，
当且仅当25x+1=x+1，即x=4时等号成立，
所以当x=4万元时，该公司在本季度增加的利润最大，为8万元，
所以答案是：4；8
15、设x，y为实数，若x2+y2+xy=1，则x+y的最大值为________；x2+y2的最小值为_________.
答案：     233     23
分析：只需将x2+y2+xy=1中x2+y2配成x+y形式，再用基本不等式即可；
直接将不等式x+y≥2xy变形为x+y2≥4xy在再化简为x2+y2≥2xy，然后将该不等式应用到上式中即可.
∵ x2+y2+xy=1 ∴  x+y2-1=xy≤(x+y)24 ∴ 34x+y2≤1 ∴  x+y≤233当且仅x=y=33时等号成立，所以x+y的最大值为233
∵  x+y≥2xy ∴  x2+y2≥2xy又x2+y2+xy=1则xy=1-x2+y2≤x2+y22
∴ 1≤3x2+y22 ∴ x2+y2≥23当且仅当x=y=33时等号成立故x2+y2的最小值为23
所以答案是：233；23
16、若正数a，b满足a+b+2=ab，则3a-1+1b-1的最小值是______，此时b=______.
答案：     2     2
分析：先由a+b+2=ab求出a=b+2b-1，再根据基本不等式求解即可．
解：∵a+b+2=ab，∴b+2=ab-a，∴ a=b+2b-1，因为a>0、b>0，所以b+2b-1>0，即b>1
∴ 3a-1+1b-1=3b+2b-1-1+1b-1=3(b+2)-(b-1)b-1+1b-1=(b-1)+1b-1⩾2(b-1)×1b-1，
即3a-1+1b-1⩾2，当且仅当b-1=1b-1，即b=2时取等号，
所以答案是：2；2．
17、已知1<a<6，3<b<4，则a-2b的取值范围为_________，ba的取值范围为_________.
答案：     -7,0     12,4
分析：由不等式的性质可直接求得结果.
∵3<b<4，∴-8<-2b<-6，又1<a<6，∴-7<a-2b<0，
即a-2b的取值范围为-7,0；
∵1<a<6，∴16<1a<1，又3<b<4，∴12<ba<4，
即ba的取值范围为12,4.
所以答案是：-7,0；12,4.
解答题
18、已知函数fx=x2-a+2x+4a∈R．
（1）关于x的不等式fx≤4-2a的解集恰好为2,5，求a的值；
（2）若对任意的x∈1,4，fx+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）a=5；（2）a≤4．
分析：（1）不等式fx≤4-2a可化为x2-a+2x+2a≤0，而解集为2,5，分析即可得到答案；
（2）依题意转化为对任意的x∈1,4，ax-1≤x2-2x+5恒成立．讨论x=1和x∈1,4时，分离参数利用基本不等式即可得到取值范围；
解：（1）fx≤-2a+4，即x2-a+2x+2a≤0，
∴x-ax-2≤0，当a>2时，不等式解集为x2≤x≤a，
当a=2时，不等式解集为xx=2，当a>2时，不等式解集为x2≤x≤a，
又解集恰好为2,5，所以a=5；
（2）对任意的x∈1,4，fx+a+1≥0恒成立，
即x2-a+2x+5+a≥0恒成立，
即对任意的x∈1,4，ax-1≤x2-2x+5恒成立．
①x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R；
②当x∈1,4时，a≤x2-2x+5x-1=x-1+4x-1，
1<x≤4，∴0<x-1≤3，∴x-1+4x-1≥2x-1⋅4x-1=4，
当且仅当x-1=4x-1时，即x-1=2，x=3时取“=”，∴a≤4．
综上a≤4．
19、汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘察测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：kmh）之间分别有如下关系：s甲=0.1x+0.01x2，s乙=0.05x+0.005x2 .问：甲、乙两车有无超速现象？
答案：甲车没超速，乙车超速
分析：分别解不等式s甲=0.1x+0.01x2<12、s乙=0.05x+0.005x2>10，即可得出结论.
由s甲=0.1x+0.01x2<12可得x2+10x-1200<0，解得0≤x<30，
由s乙=0.05x+0.005x2>10可得x2+10x-2000>0，解得x>40，
所以，甲车没超速，乙车超速.
20、设函数fx=mx2-mx-1．
（1）若对于一切实数x，fx<0恒成立，求m的取值范围；
（2）解不等式fx<m-1x2+2x-2m-1．
答案：（1）-4,0；（2）答案见解析．
分析：（1）分别在m=0和m≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为x-mx-2<0，分别在m<2，m>2和m=2三种情况下求得结果.
（1）由fx<0知：mx2-mx-1<0，
当m=0时，-1<0，满足题意；
当m≠0时，则m<0Δ=m2+4m<0，解得：-4<m<0；
综上所述：m的取值范围为-4,0．
（2）由fx<m-1x2+2x-2m-1得mx2-mx-1-mx2+x2-2x+2m+1<0，
即x2-m+2x+2m<0，即x-mx-2<0；
当m<2时，解得：m<x<2；当m>2时，解得2<x<m；当m=2时，解集为∅．
综上所述：当m<2时，解集为m,2；当m>2时，解集为2,m；当m=2时，解集为∅．