2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结识点归纳总结 单选题 1、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：生产 1 单位试剂需要原料费 50 元；支付所有职工的工资总额由 7500 元的基本工资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成；后续保养的费用是每单位(+600 30)元（试剂的总产量为单位，50 200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A60 单位 B70 单位 C80 单位 D90 单位 答案：D 分析：设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可 解：设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为50元，职工的工资总额为7500+20元，后续保养总费用为(+600 30)元，则=50+7500+20+230+600=+8100+40 2 8100+40=220，当且仅当=8100，即=90时取等号，满足50 200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为 90 单位 故选：D 2、前后两个不等式解集相同的有（）+521 0与(2 1)(+5)0 +521 0与(2 1)(+5)0 2(2 1)(+5)0与(2 1)(+5)0 2(2 1)(+5)0与(2 1)(+5)0 ABCD 答案：B 分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于，由+521 0可得2 1 0(+5)(2 1)0，解得：12或 5.(2 1)(+5)0的解集为：|12 或 5，故不正确；对于，由+521 0可得2 1 0(+5)(2 1)0，解得：12或 0的解集为：|12 或 0的解集为：|12，(2 1)(+5)0的解集为：|12 或 ，那么 B如果 ，那么2 2 C如果 ，那么D如果 ，答案：D 分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于 A，如果=0，那么=，故错误；对于 B，如果=0，那么2=2，故错误；对于 C，如果 0，那么，故错误；对于 D，如果 ，由 ，则 ，故正确.故选：D.6、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则2+2(+)2+，当且仅当=时等号成立根据权方和不等式，函数()=2+912(0 0，则2+2(+)2+，当且仅当=时等号成立，又0 0，于是得()=222+3212(2+3)22+(12)=25，当且仅当22=312，即=15时取“=”，所以函数()=2+912(0 0，则22+1+1()10+252取得最小值时，的值为（）A2B2C4D25 答案：A 解析：转化条件为原式=1+1()+()+(5)2，结合基本不等式即可得解.22+1+1()10+252=1+1()+()()+22 10+252=1+1()+()+2 10+252=1+1()+()+(5)2 21 +21()()+0=4，当且仅当=1()=1=5，即=2，=22，=25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、不等式1+2 1B|2 C|2 1或 2 答案：C 解析：由1+2 0等价于(1)(+2)0，进而可求出不等式的解集.由题意，1+2 0等价于(1)(+2)0，解得2 1，所以不等式1+2 0的解集为|2 0,0,0可知 +2 0（当且仅当=时等号成立）+2 0（当且仅当=时等号成立）+2 0（当且仅当=时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(+)(+)(+)8222=8（当且仅当=1时等号成立）故选：D 10、=+4(1)的最小值为（）A2B3C4D5 答案：C 分析：利用均值不等式求解即可.因为=+4(1)，所以+4 2 4=4，当且仅当=4即=2时等号成立.所以当=2时，函数=+4有最小值 4.故选：C.11、已知二次函数=2+的图象如图所示，则不等式2+0的解集是（）A|2 1B|1C|2 1D|2或 1 答案：A 分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：2+0有2 0)，他往返甲乙两地的平均速度为，则（）A=+2B=C +2D 21+1=，=21+1=2+22=，故选:D.双空题 13、若正数、满足+=2，则的最大值为_；1+4的最小值为_.答案：1 92 解析：利用基本不等式可求得的最大值，将代数式+2与1+4相乘，展开后利用基本不等式可求得1+4的最小值.由于正数、满足+=2，由基本不等式可得+2，即 (+2)2=1，当且仅当=1时，等号成立，即的最大值为1；1+4=12(+)(1+4)=12(5+4)12(5+24)=92.当且仅当=2时，等号成立，即1+4的最小值为92.所以答案是：1；92.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14、设关于x的不等式2+8(+1)+7+16 0()，只有有限个整数解，且 0 是其中一个解，则a的取值是_，全部不等式的整数解的和为_.答案：-2 或-1#-1 或-2 -10 分析：先确定 0，再利用 0 为其中的一个解，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出答案.若=0，则原不等式为8+16 0，即 2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故 0.设=2+8(+1)+7+16(0)，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足 0而整数解只有有限个，所以 0，因为 0 为其中一个解，所以7+16 0，即 167，所以167 0，y0，且x+2y=xy，若x+2ym2+2m恒成立，则xy的最小值为_，实数m的取值范围为_.答案：8 (4,2)解析：x+2y=xy等价于2+1=1，根据基本不等式得出xy8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围.x0，y0，x+2y=xy，2+1=1，1=2+1 221，xy8，当且仅当x=4，y=2 时取等号，x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，m2+2m8，解得4m 0，=|，若 =，则实数的取值范围是_，若 =，则实数的取值范围是_.答案：(,2 (4,+)分析：先转化出=|4或 0 =|4或 4.所以答案是：(,2，(4,+).小提示：本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算和集合间的关系，属于基础题.解答题 18、已知不等式（1+2）4+2+6，其中x，kR(1)若x4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意kR恒成立，求x的最大值 答案：(1)|1 1或 2或 2(2)26 1 分析：（1）将x4 代入不等式化简可得，（2 2)(2 1）0，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用换元法，令=1+2 1，将问题转化为 +6 1对任意t1 恒成立，利用基本不等式求解+6 1的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案（1）若x4，则不等式（1+2）4+2+6变形为432+2 0，即(2 2)(2 1)0，解得2 1或2 2，所以1 1 或 2或 2，故不等式的解集为|1 1或 2或 2；（2）令=1+2 1，则不等式（1+2）4+2+6对任意kR恒成立，等价于 4+2+62+1=+6 1对任意t1 恒成立，因为+6 1 2 6 1=26 1，当且仅当=6，即t6 1时取等号，所以x26 1，故x的最大值为26 1 19、若 0，0，求证：答案：证明见解析 解析：要证 0即可，所以利用作差法证明即可 解：因为 0，0 因为 0，所以 0，所以 0，所以=0，所以 0，0.（1）求证：2+32 2(+)；（2）若+=2，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据+=2，可得2=+2，从而得到 1，进而求得 1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）2+32 2(+)=2 2+2=()2 0，2+32 2(+).（2）0，0，2=+2，即2 2，1，1.当且仅当=1时取等号，此时ab取最小值 1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.