全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳结归纳 单选题 1、已知正数x，y满足2+3+13+=1，则+的最小值（）A3+224B3+24C3+228D3+28 答案：A 分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令+3=，3+=，则2+1=1，即+=(+3)+(3+)=4(+)，+=+4=(4+4)(2+1)=12+4+24+14 2424+34=2 122+34=22+34，当且仅当4=24，即=2+2，=2+1时，等号成立，故选：A.2、已知关于的不等式(2+3)2(3)1 0(0,0)的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2+=1Bab的最大值为18 C1+2的最小值为 4D1+1的最小值为3+22 答案：C 分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2+3=2，3=1，可判定 A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断 B 正确，C 错误，D 正确.由题意，不等式(2+3)2(3)1 0的解集为(,1 12,+)，可得2+3 0，且方程(2+3)2(3)1=0的两根为1和12，所以1+12=32+31 12=12+3，所以2+3=2，3=1，所以2+=1，所以 A 正确；因为 0，0，所以2+=1 22，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以的最大值为18，所以 B 正确；由1+2=(1+2)(2+)=4+4 4+24=4+4=8，当且仅当=4时，即2=12时取等号，所以1+2的最小值为8，所以 C 错误；由1+1=(1+1)(2+)=3+2 3+22=3+2，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，所以1+1的最小值为3+22，所以 D 正确 故选：C 3、若对任意实数 0,0，不等式+(+)恒成立，则实数a的最小值为（）A212B2 1C2+1D2+12 答案：D 分析：分离变量将问题转化为+对于任意实数 0,0恒成立，进而求出+的最大值，设=(0)及1+=(1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，+对于任意实数 0,0恒成立，则只需求+的最大值即可，+=1+1+，设=(0)，则1+1+=1+1+2，再设1+=(1)，则1+1+=1+1+2=1+(1)2=22+2=1+22 1222=1222=2+12，当且仅当=2=2 1时取得“=”.所以 2+12，即实数a的最小值为2+12.故选：D.4、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 5、已知使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0，则实数的取值范围为（）A(,13)B(,13 C13,+)D(13,+)答案：C 分析：使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0，则不等式2+(+1)+0的解集是(,13的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3 1 0得 13，因为使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0 则不等式2+(+1)+0的解集是(,13的子集，又由2+(+1)+0得(+)(+1)0，当=1，1 (,13，符合；当 13，当 1，,1 (,13，符合，故实数的取值范围为13,+).故选：C.6、已知,为正实数，且+=6+1+9，则+的最小值为（）A6B8C9D12 答案：B 分析：根据题意，化简得到(+)2=(6+1+9)(+)=6(+)+10+9，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(+)2=(6+1+9)(+)=6(+)+10+9 6(+)+16，则有(+)2 6(+)16 0，解得+8，当且仅当=2，=6取到最小值8.故选：B.7、已知=()()+2022()，且,()是方程=0的两实数根，则，m，n的大小关系是（）A B C D 答案：C 分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.，为方程=0的两实数根，为函数=()()+2022的图像与x轴交点的横坐标，令1=()()，m，n为函数1=()()的图像与x轴交点的横坐标，易知函数=()()+2022的图像可由1=()()的图像向上平移 2022 个单位长度得到，所以 0的解集是|12 0的解集为（）A(,16)B(,16)C(16,+)D(16,+)答案：A 分析：利用根于系数的关系先求出,，再解不等式即可.不等式2+2 0的解集是|12 0的解集为(,16)故选：A 9、要使关于的方程2+(2 1)+2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数的取值范围是（）A|1 2 B|2 1 C|1 答案：B 分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.由题意可得1+(2 1)+2=2+2 0，解得2 0的解集是（）A|2 1B|1C|2 1D|2或 1 答案：A 分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：2+0有2 1.故选：A 11、若()2 4成立的一个充分不必要条件是1+12 0，则实数a的取值范围为（）A(,4B1,4C(1,4)D(1,4 答案：D 分析：解一元二次不等式分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.由()2 4，可得：2 +2；由1+12=32 0，则(2)(3)02 0，可得2 3；()2 3，可得1 0的解集为|1 2的解集是（）A|0 3B|3 C|1 3D|1 3 答案：A 分析：由题知=1=2，0，进而将不等式转化为2 3 2，整理得2+(2)+(+)0 又不等式2+0的解集为|1 2，所以 0，且(1)+2=(1)2=，即=1=2 将两边同除以得：2+(2)+(1+)0 将代入得：2 3 0，解得0 3 故选：A 填空题 13、设1、2、3、1、2、3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：11+22+33，11+23+32，12+23+31，12+21+33，13+22+31，13+21+32，能同时取到 150 的代数式最多有_个 答案：2 分析：由作差法比较大小后判断 不妨设1 2 3，1 2 0，故，=11+32 12 31=(1 3)(1 2)0，故，=11+22 12 21=(1 2)(1 2)0，故，同理得，综上可知，且，最多有或两项可同时取 150，令11+23+32=12+21+33=150，得其一组解为1=12=03=1，1=22=1523=302 所以答案是：2 14、若函数()=122 +的定义域和值域均为1,(1)，则+的值为_.答案：92 分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为1,(1)，列出相应方程组，求出，的值即可.解：由函数()=122 +，可得对称轴为=1，故函数在1,上是增函数.函数()=122 +的定义域和值域均为1,(1)，(1)=1()=，即12 1+=1122 +=.解得=32，=1或=3.1，=3.+=32+3=92.所以答案是：92.15、已知关于的不等式2+6 32 0(0)的解集为1,2，则1+2+312的最小值是_.答案：26 分析：由题知1+2=6,12=32，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于的不等式2+6 32 0(0)的解集为1,2，所以1,2是方程2+6 32=0(0)的实数根，所以1+2=6,12=32，因为 0，所以1+2+312=6+1 26，当且仅当6=1，即=66时等号成立，所以1+2+312的最小值是26 所以答案是：26 16、函数()=+9(0)的值域为_.答案：6,+)分析：根据基本不等式即可解出 因为 0，所以()=+9 29=6，当且仅当=3时取等号 所以答案是：6,+)17、函数=3+11(1)的最小值是_ 答案：3+23 分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为 1，则 1 0，所以=3(1)+11+3 23(1)11+3=23+3，当且仅当3(1)=11，因为 1，即当=3+33时，等号成立.所以函数=3+11(1)的最小值是23+3.所以答案是：3+23.解答题 18、解下列不等式：（1）2 2 1 0；（2）213 3：答案：(1)(,1 2)(1+2,+)；(2)(3,8.分析：(1)先求对应二次方程的根，不等式的解集在两根之外；(2)把不等式移项通分，然后分式化整式，转化为二次不等式来解.(1)因为2 2 1=0的两根为1=1 2，2=1+2，所以原不等式2 2 1 0的解集为(,1 2)(1+2,+).(2)由213 3，得213 3 0，即+83 0，所以83 0，所以(8)(3)0 3 0 ，所以原不等式的解集为(3,8.19、求下列不等式的解集：(1)2 4 5 0；(2)42+18 814 0；(3)122+3 5 0；答案：(1)|1 5；(2)94；(3).分析：利用一元二次不等式的解法求解即可（1）解：2 4 5=(5)(+1)0 解得：1 5 不等式解集为：|1 5.（2）解：42+18 814 0，整理得：162 72+81 0 即(4 9)2 0 解得：=94 不等式解集为：94.（3）解：122+3 5 0，整理得：2 6+10 0 =(6)2 4 10=4 0，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：.20、（1）已知正数、满足1+2=1，求的最小值；（2）已知 1，求函数()=+11的最大值 答案：（1）8；（2）1 分析：（1）运用基本不等式由1+2 22，可求得 的最小值；（2）原式可变形为()=(1)+11+1，运用基本不等式可求得()=+11的最大值（1）因为正数，满足1+2=1，所以1+2 212=22，得 8，当且仅当1=2时，即=2,=4时取等号，则的最小值为 8；（2）因为 1，所以 10，所以()=+11=(1)+11+1 2(1)11+1=1 当且仅当 1=11，即=0时取等号，所以()=+11的最大值为1 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方