2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题方年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧法技巧 单选题 1、当0 2时，(2 )的最大值为（）A0B1C2D4 答案：B 分析：利用基本不等式直接求解.0 0，又+(2 )=2 (2 )+(2)24=1，当且仅当=2 ，即=1时等号成立，所以(2 )的最大值为1 故选：B 2、不等式(2+7)3的解集为（）A(,3 12,+)B3,12 C(,2 13,+)D2,13 答案：A 分析：解一元二次不等式即可.(2+7)3可变形为22+7+3 0，令22+7+3=0，得1=3，2=12，所以 3或 12，即不等式的解集为(,3 12,+).故选：A.3、某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度 a 匀速跑，后半程以速度b 匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m s），若 ，则（）A甲先到达终点 B乙先到达终点 C甲乙同时到达终点 D无法确定谁先到达终点 答案：B 解析：设马拉松全程为x，得到甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，做差比较大小可得答案.设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12(+)，乙用的时间为+2=2+，因为 ，所以12(+)2+=(+)+(+)42(+)=()2(+)0，所以12(+)2+，则乙先到达终点.故选：B.小提示：比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.4、已知2 3，2 1，则2 的范围是（）A(6,7)B(5,8)C(2,5)D(6,8)答案：B 分析：由不等式的性质求解即可.2 3,2 1，故4 2 6，1 2，得5 2 8 故选：B 5、,是不同时为 0 的实数，则+2+22+2的最大值为（）A12B14C22D32 答案：A 分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使+2+22+2最大，则,均为正数，即,符号相同，不妨设,均为正实数，则+2+22+2=+2+2+2+22+22=+22(2+2)=122+2+22(2+2)=1212+2+21212+222=12，当且仅当2+2=2，且=取等，即=取等号，即则+2+22+2的最大值为12，故选：A 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.6、关于的不等式2(2+1)+0的解集为|1 2，且2 1=1，则2+2=（）A3B32C2D23 答案：A 分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得1+2=+1、12=1，结合(2 1)2=(1+2)2 412计算即可.由不等式2(2+1)+0的解集为|1 0，不等式对应的一元二次方程为2(2+1)+=0，方程的解为1、2，由韦达定理，得1+2=2+1=+1，12=1，因为2 1=1，所以(2 1)2=(1+2)2 412=1，即(+1)2 4=1，整理，得2+2=3.故选：A 7、已知关于的不等式(2+3)2(3)1 0(0,0)的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2+=1Bab的最大值为18 C1+2的最小值为 4D1+1的最小值为3+22 答案：C 分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2+3=2，3=1，可判定 A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断 B 正确，C 错误，D 正确.由题意，不等式(2+3)2(3)1 0的解集为(,1 12,+)，可得2+3 0，且方程(2+3)2(3)1=0的两根为1和12，所以1+12=32+31 12=12+3，所以2+3=2，3=1，所以2+=1，所以 A 正确；因为 0，0，所以2+=1 22，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以的最大值为18，所以 B 正确；由1+2=(1+2)(2+)=4+4 4+24=4+4=8，当且仅当=4时，即2=12时取等号，所以1+2的最小值为8，所以 C 错误；由1+1=(1+1)(2+)=3+2 3+22=3+2，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，所以1+1的最小值为3+22，所以 D 正确 故选：C 8、若对任意实数 0,0，不等式+(+)恒成立，则实数a的最小值为（）A212B2 1C2+1D2+12 答案：D 分析：分离变量将问题转化为+对于任意实数 0,0恒成立，进而求出+的最大值，设=(0)及1+=(1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，+对于任意实数 0,0恒成立，则只需求+的最大值即可，+=1+1+，设=(0)，则1+1+=1+1+2，再设1+=(1)，则1+1+=1+1+2=1+(1)2=22+2=1+22 1222=1222=2+12，当且仅当=2=2 1时取得“=”.所以 2+12，即实数a的最小值为2+12.故选：D.9、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 10、已知使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0，则实数的取值范围为（）A(,13)B(,13 C13,+)D(13,+)答案：C 分析：使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0，则不等式2+(+1)+0的解集是(,13的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3 1 0得 13，因为使不等式2+(+1)+0成立的任意一个，都满足不等式3 1 0 则不等式2+(+1)+0的解集是(,13的子集，又由2+(+1)+0得(+)(+1)0，当=1，1 (,13，符合；当 13，当 1，,1 (,13，符合，故实数的取值范围为13,+).故选：C.11、已知,为正实数，且+=6+1+9，则+的最小值为（）A6B8C9D12 答案：B 分析：根据题意，化简得到(+)2=(6+1+9)(+)=6(+)+10+9，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(+)2=(6+1+9)(+)=6(+)+10+9 6(+)+16，则有(+)2 6(+)16 0，解得+8，当且仅当=2，=6取到最小值8.故选：B.12、设实数满足 0，函数=2+3+4+1的最小值为（）A43 1B43+2C42+1D6 答案：A 解析：将函数变形为=3(+1)+4+1 1，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意 0，所以+1 0，所以=2+3+4+1=2+3(+1)3+4+1=3(+1)+4+1 1 23(+1)4+1 1=43 1，当且仅当3(+1)=4+1，即=233 1 0时等号成立，所以函数=2+3+4+1的最小值为43 1.故选：A 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 双空题 13、关于x的不等式2+0的解集为|13 0的解集为|13 -1)的最小值是_，此时的值_.答案：23 1#.1+23 3 1#.1+3 分析：将=+3+1(-1)变形为=+1+3+1-1，利用基本不等式即可求得函数最小值以及此时的值.-1,+10，故=+3+1=+1+3+1-12(+1)3+1-1=23-1，当且仅当+1=3+1即=3-1时取得等号，故=+3+1(-1)的最小值为23-1，此时的值为3-1，所以答案是：23-1；3-1 15、若 0，则变量+9的最小值是_，取到最小值时，=_.答案：6 3 分析：利用基本不等式计算可得.解：因为 0，所以+9 2 9=6，当且仅当=9，即=3时取等号.所以答案是：6；3 16、若正数，满足+2=，则31+11的最小值是_，此时=_.答案：2 2 分析：先由+2=求出=+21，再根据基本不等式求解即可 解：+2=，+2=，=+21，因为 0、0，所以+21 0，即 1 31+11=3+211+11=3(+2)(1)1+11=(1)+11 2(1)11，即31+11 2，当且仅当 1=11，即=2时取等号，所以答案是：2；2 17、若对任意实数，等式+2=3+恒成立，则=_，=_.答案：3 2 分析：对应系数相等即可直接求出结果.对应系数相等可得=3=2，所以答案是：3；2.解答题 18、解下列不等式：（1）2 2 1 0；（2）213 3：答案：(1)(,1 2)(1+2,+)；(2)(3,8.分析：(1)先求对应二次方程的根，不等式的解集在两根之外；(2)把不等式移项通分，然后分式化整式，转化为二次不等式来解.(1)因为2 2 1=0的两根为1=1 2，2=1+2，所以原不等式2 2 1 0的解集为(,1 2)(1+2,+).(2)由213 3，得213 3 0，即+83 0，所以83 0，所以(8)(3)0 3 0 ，所以原不等式的解集为(3,8.19、汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘察测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km h）之间分别有如下关系：甲=0.1+0.012，乙=0.05+0.0052.问：甲、乙两车有无超速现象？答案：甲车没超速，乙车超速 分析：分别解不等式甲=0.1+0.012 10，即可得出结论.由甲=0.1+0.012 12可得2+10 1200 0，解得0 10可得2+10 2000 0，解得 40，所以，甲车没超速，乙车超速.20、设函数()=2 1（1）若对于一切实数，()0恒成立，求的取值范围；（2）解不等式()(1)2+2 2 1 答案：（1）(4,0；（2）答案见解析 分析：（1）分别在=0和 0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为()(2)0，分别在 2和=2三种情况下求得结果.（1）由()0知：2 1 0，当=0时，1 0，满足题意；当 0时，则 0=2+4 0，解得：4 0；综上所述：的取值范围为(4,0（2）由()(1)2+2 2 1得2 1 2+2 2+2+1 0，即2(+2)+2 0，即()(2)0；当 2时，解得：2时，解得2 ；当=2时，解集为 综上所述：当 2时，解集为(2,)；当=2时，解集为