2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点知识归纳.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点知年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点知识归纳识归纳 单选题 1、,是不同时为 0 的实数，则+2+22+2的最大值为（）A12B14C22D32 答案：A 分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使+2+22+2最大，则,均为正数，即,符号相同，不妨设,均为正实数，则+2+22+2=+2+2+2+22+22=+22(2+2)=122+2+22(2+2)=1212+2+21212+222=12，当且仅当2+2=2，且=取等，即=取等号，即则+2+22+2的最大值为12，故选：A 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.2、已知命题“R，42+(2)+14 0”是假命题，则实数的取值范围为（）A(,0 4,+)B0,4 C4,+)D(0,4)答案：A 分析：先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.若“R，42+(2)+14 0”是真命题，即判别式=(2)2 4 4 14 0，解得：0 0”是假命题，则实数的取值范围为：(,0 4,+).故选：A.3、若“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）Am1Bm2Cm3Dm4 答案：C 分析：x2+mx2m20），解得2mxm.根据“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，可得2m2，3m，m0.解出即可得出.解：x2+mx2m20），解得2mxm.“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，2m2，3m，(两个等号不同时取)m0.解得m3.则实数m的取值范围是3，+）.故选：C.4、已知正实数,满足4+1+1=1，则+2的最小值为（）A6B8C10D12 答案：B 分析：令+2=+1 1，用+1分别乘4+1+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4+1+1=1，且,为正实数 所以+1=(+1)(4+1+1)=4+1+4(+1)+1 5+2+14(+1)+=9，当且仅当+1=4(+1)+即=+2时等号成立.所以+2+1 9,+2 8.故选：B.5、下列不等式中成立的是（）A若 0，则2 2B若 0，则2 2 C若 0，则2 2D若 0，则1 0，则2 2错误，如=0时，2=2，所以该选项错误；B.若 0，则2 2=(+)()0,2 2，所以该选项正确；C.若 0,2，所以该选项错误；D.若 0,11，所以该选项错误.故选：B 6、已知 2，则+42的最小值为（）A6B4C3D2 答案：A 分析：利用基本不等式可得答案.2，2 0，+42=2+42+22(2)42+26，当且仅当 2=42即=4时，+42取最小值 6，故选：A 7、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 8、若关于x的不等式|1|成立的充分条件是0 4，则实数a的取值范围是（）A(，1B(，1)C(3，)D3，)答案：D 分析：根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.|1|成立的充分条件是0 0，|1|1 0，则22+1+1()10+252取得最小值时，的值为（）A2B2C4D25 答案：A 解析：转化条件为原式=1+1()+()+(5)2，结合基本不等式即可得解.22+1+1()10+252=1+1()+()()+22 10+252=1+1()+()+2 10+252=1+1()+()+(5)2 21 +21()()+0=4，当且仅当=1()=1=5，即=2，=22，=25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11、不等式1+5 62 0的解集为（）A|1或 16B|16 1或 3D|3 2 答案：B 分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为62 5 1 0，即(6+1)(1)0，解得16 1，故原不等式的解集为|16 0(0,0)的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2+=1Bab的最大值为18 C1+2的最小值为 4D1+1的最小值为3+22 答案：C 分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2+3=2，3=1，可判定 A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断 B 正确，C 错误，D 正确.由题意，不等式(2+3)2(3)1 0的解集为(,1 12,+)，可得2+3 0，且方程(2+3)2(3)1=0的两根为1和12，所以1+12=32+31 12=12+3，所以2+3=2，3=1，所以2+=1，所以 A 正确；因为 0，0，所以2+=1 22，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以的最大值为18，所以 B 正确；由1+2=(1+2)(2+)=4+4 4+24=4+4=8，当且仅当=4时，即2=12时取等号，所以1+2的最小值为8，所以 C 错误；由1+1=(1+1)(2+)=3+2 3+22=3+2，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，所以1+1的最小值为3+22，所以 D 正确 故选：C 双空题 13、当=_时，2(4 2)(2 0)的最大值是_ 答案：2 4 分析：把2作为一个整体，结合二次函数的性质可得最大值 2 0，则0 2 0，函数()=1+25的最小值是_，此时=_ 答案：9 5 分析：根据给定的条件，利用均值不等式直接求解作答.0，则()=1+25 2 25 1=9，当且仅当=25，即=5时取等号，所以原函数的最小值为 9，此时=5.所以答案是：9；5 15、若a、，且|3，|4，则|+|的最大值是_，最小值是_ 答案：7 0 分析：根据不等式的性质可得7 +7，即可求出.因为|3，所以3 3，因为|4，所以4 4，所以7 +7，则0|+|7，即|+|的最大值是 7，最小值是 0.所以答案是：7；0.16、为应对新冠肺炎疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为640m2的矩形隔离区，拟划分 6 个工作区域，布局示意图如图所示根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2 m，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3 m的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长 m （1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积y（单位：m2）表示为北边长（单位：m）的函数解析式为_；（2）若平均每个人隔离所需病区面积为2.5m2，则同时隔离的最多人数为_（2 1.4）答案：=720 8 6400(10 80)108 分析：第一空根据已知条件，结合长方形的面积公式，即可求解；第二空根据已知条件，结合基本不等式，即可求解.（1）由题可知=(10)(640 8)=720 8 6400(10 80)（2）=720 8 6400=720 (8+6400)720 3202 272，当且仅当=202时等号成立，又272 2.5=108.8，故同时隔离的最多人数为 108 所以答案是：=720 8 6400(10 0,0，则：(1)如果积是定值，那么当且仅当=时，+有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和+是定值，那么当且仅当=时，有最大值是24.(简记：和定积最大)解答题 18、已知a，b都是正数(1)若+=1 2，证明：+4；(2)当 时，证明：+答案：(1)证明见解析(2)证明见解析 分析：（1）根据+=1 2可得+=1，再结合+化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可（1）证明：由+=1 2，得(+)2=1，即+=1+=(+)=1+1=(1+1)(+)=2+2+2=4，当且仅当=14时“=”成立 所以+4（2）要证+，只需证()()0，即证()()0，即证()2(+)0，因为()2 0,+0，所以上式成立，所以+成立 19、设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若命题“对任意实数x，f(x)-2”为真命题，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)a-1(aR).答案：(1)a13(2)答案见解析 分析：（1）根据“对任意实数x，f(x)-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2-2，即ax2+(1-a)x+a0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式 即可求出a的范围.（2）由f(x)a-1 得ax2+(1-a)x+a-2a-1，即ax2+(1-a)x-10，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)0，0，即 0，(1-)2-42 0，解得a13.故实数a的取值范围为a13.（2）f(x)a-1(aR)，ax2+(1-a)x+a-2a-1，即ax2+(1-a)x-10.当a=0 时，x1，不等式的解集为x|x0 时，ax2+(1-a)x-10(ax+1)(x-1)0，此时方程(ax+1)(x-1)=0 的解分别为-1，1，-11，不等式的解集为 x|-1 x1，当a0 时，不等式可化为(ax+1)(x-1)0，当a=-1 时，-1=1，不等式的解集为x|x1；当-1a1，此时不等式的解集为 x|1 或x1；当a-1 时，-1 1或x1 20、某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.（1）写出4辆客车运营的总利润(万元)与运营年数()的函数关系式：（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？答案：（1）=16(22+23 50)；（2）这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为 48万元.分析：（1）由题知，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)，进而得利润的表达式=16(22+23 50)；（2）结合（1）得年平均运营利润为=1623 2(+25)，再根据基本不等式求解即可得答案.解：（1）依题意得，每辆车年总收入为100万元，总支出为200+16 (1+2+3+)=200+16(1+)2=200+8(+1)，所以4辆客车运营的总利润=4100 200 8(+1)=16(22+23 50).（2）年平均运营利润为=16(2+23 50)=1623 2(+25)，因为 ，所以+25 2 25=10，当且仅当=5时，等号成立，此时 16 (23 2 10)=48，所以这 4 辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为 48 万元.