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专题三--函数---图像和性质

　专题三 函数的图像、单调性、奇偶性
l 图像变换
1．平移变换：
（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
2．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．
3．翻折变换：
（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留
的轴上方部分即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部
分即可得到．
l 函数单调性
1.求单调区间的方法：一般先根据图象判断，再利用定义证明，证明步骤：“五步走”：取值、作差、变形、断号、定论。

2.复合函数在公共定义域上的单调性：
①若f与g的单调性相同，则为增函数；②若f与g的单调性相反，则为减函数
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集
3.一些有用的结论：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数

【典型例题】
1.y=(3x-1)/(x+2)的图象（ ）
A 关于点(-2,3)对称 B 关于点(2,-3)对称 C 关于直线x= -2对称 D 关于直线y= -3对称
2.函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1-x)的图象是 （ ）

3.画出下列函数的图像：
（1）. （2）. （3）. （4）. （5）.

4.讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.

5.设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.

6.判断函数f（x）=（a≠）在（－2，+∞）上的单调性.

7.函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A.y=－x+1 B.y= C.y=x2－4x+5 D.y=
8.若，在[-2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2]上是减函数，则（ ）
A．-3 B．13 C．7 D．-13

9.如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是______________ .

10.已知函数对其定义域中的任意的x，都有成立.又，且
在上是递增的。 (1)求a，b，c的值 (2)当x<0时，讨论的单调性

11.已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2
(1)判断f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

12.已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，
(1)判断f(x)的单调性;
(2)求发f(1)和f(2);
(3)求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.

l 函数的单调性
1. 所谓单调性，即指当函数自变量发生变化时，因变量的变化同自变量变化是同个方向还是相反方向。
（1）若是同一个方向，即
（2）若是相反方向，即――可以简记为“同增异减”
2. 复合函数的单调性
（1）先求定义域，单调区间是定义域的一部分
（2）根据复合函数内外层“同增异减”，列表求解。求的过程也是两类，内层自身划分与外层单调区间要求内层解不等式的交集
（3）求复合函数单调区间：先用外层的单调区间解“要求“内层的不等式，再将内层的单调区间结合起来列表
3. 单调性的证明
（1）特征：一般函数
对策：定义法：设；作差，结果分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出；判断正负号即可知单调性。
★常见技巧：将分式通分，将无理式有理化。
4. 单调性的性质
A. 若是增函数，则减函数；若是减函数，则增函数
★即：单调函数前符号改变，其单调性与原函数相反
B． 增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
函数加负号，单调性相反，因此减去减函数即加上增函数，第二行实则就是第一行
★即：同单调性的函数相加，单调性不变
C．　函数和在其对应定义域上都是减函数,则复合函数是增函数；
函数和在其对应定义域上都是增函数,则复合函数是增函数；
函数和在其对应定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数是减函数
★即：同增异减
D． 若是增函数，且在定义域内恒为正数（或负数），则为减函数
若是减函数，且在定义域内恒为正数（或负数），则为增函数
★即：对于确定符号的单调函数，其倒数单调性与原函数相反
E． 奇函数在其对称的两个区间内具有相同的单调性，偶函数在其对称区间内具有相反的单调性。
★即：奇同偶反
F． 互为反函数的两个函数在各自定义域上具有相同的单调性
G． 函数的单调性的等价关系
①设那么
上是增函数；
上是减函数。
5. 函数单调性问题应当注意的问题
（1）单调性的证明具有普遍性，的假设是在区间上任意的，不能以特殊值来代替。
（2）函数的单调性具有区间性，即一个函数在不同区间具有不同的单调性
★从基本函数的单调性引申到带参数的单调性：
（1）紧盯特征量：一次函数的，二次函数的，一次分式函数的
（2）将此带参数的特征量与固定区间一个固定，一个移动，以观察单调性是否满足条件

l 函数的奇偶性

1、奇偶性的判定：定义域先关于原点对称（指数轴上的一维图象）；再根据表达式
2、奇偶函数的图象特征： 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然。
3、多项式函数的奇偶性
是奇函数的偶次项的系数全为零； 是偶函数的奇次项的系数全为零
4、若奇函数的定义域包含则该函数必过原点（0,0）为偶函数

5、对于从看不出其与关系的，
根据可判定奇偶性
6、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
7、若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，
则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数
【典型例题】
1. 若函数在上是减函数，则的取值范围为________。
2. 已知函数，① 当时，求函数的最大值和最小值；② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。

3. 若在区间上是增函数，则的取值范围是 。[提示：利用单调性定义]
4. （04年湖南卷）若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（ ）
A． B． C．（0，1） D．
5. 已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：
①f (0) = 0 ②若 f (x) 在 [0, 上有最小值 -1，则 f (x) 在上有最大值1
③若 f (x) 在 [1, 上为增函数，则 f (x) 在 上为减函数。
④若 x > 0时，f (x) = x2 - 2x , 则 x < 0 时，f (x) = - x2 - 2x 。 其中正确的序号是： ___
6. 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）

7. 设其中为常数，如f（－7）＝7，则f（7）等于 （ ）
A.－17 B.－7 C.14 D.21
8. 函数f(x)=的图象 ( )　　
A 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线x=1对称
9. 已知y=f(x)是偶函数，且在上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是 （ ）
A． B． C． D．
10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有 （ ）
A． B． C． D．
11. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)。求a的取值范围

12. 定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合

13. 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_______________
14. 讨论函数的单调性

15. 已知若试确定的单调区间和单调性

16. 函数 f (x)在 [0, 上单调递减，求的递减区间

17. （2004年春季上海）已知函数f（x）=|x－a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等.（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间

18. 如图，中，一个边长的正方形由位置Ⅰ沿AB边平行移动到位置Ⅱ，若移动的距离为，正方形和三角形的公共部分的面积为，
（1）求的解析式； C
（2）在坐标系中画出函数的草图； Ⅰ Ⅱ
（3）根据图象，指出函数的最大值和单调区间。
A B

19. 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式

20. 当时，求函数的最小值

21. 已知在区间内有一最大值，求的值

22. 已知函数f（x）是R 上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋），当x∈（－∞，0）时，f（x）＝___

23.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0＜x＜1时，f（x）∈(0，1).
(1) 判断f（x）的奇偶性；
(2) 判断f（x）在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明；
(3) 若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.

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