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北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优:特殊的平行四边形(解析版).docx

上传人:w****g 文档编号:5743712 上传时间:2024-11-19 格式:DOCX 页数:29 大小:2.57MB
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1、 期末备考压轴题专项培优:特殊的平行四边形1如图,四边形 ABCD 是正方形,ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将绕点 逆时针旋转 60得到 BN,连接 、 、 设点 的坐标EN AM CMBMBN为( , )m n(1)若建立平面直角坐标系,满足原点在线段上,点 (1,0), (0,1)且B ABD (0 2),则点 的坐标为 (1,0) ,点 的坐标为 (0,1) ;请BM ttDC直接写出点 纵坐标 的取值范围是 0 ;Nnn(2)若正方形的边长为 2,求的长,以及+的最小值AM BM CMEC(提示:连结 MN: +1, 1)解:(1)如图 1,以直线

2、为 轴,直线x为 轴,建立平面直角坐标系,AC yBD四边形是正方形,ABCD OA OB OC OD,点 (1,0), (0,1),BA (1,0), (0,1);DC过 作于 ,hNNH BDNHB90,将 绕点 逆时针旋转 60得到 BN,BMBNBH60, ,BM BN NHBNt,0 2,t点 纵坐标 的取值范围是 0 ;Nnn故答案为:(1,0),(0,1);0 ;n ( )如图所示,连接2,过 作MN E ,交EH BC的延长线于 ,CB H由旋转可得, , ,BM BN NBM 60BMN 是等边三角形, ,MN BMABE 是等边三角形, , ,BE BA ABE 60ABM

3、EBN,ABM ( ),EBN SAS ,AM ENAM+BM+CMEN+MN+CM,当 , , , 在同一直线上时,E N M C的最小值是的长,CEAM+BM+CN又 , ,ABE 60 ABH 90 ,EBH 30 Rt EBH中, EH ,EB 2 1 BH, ,CH 2+ Rt CEH中, CE;AM+BM+CM 的最小值为+ 2如图,在ABCD 中,BAD的平分线交BC于点 ,交EDC的延长线于 ,以F、EC CF为邻边作ECFG( )证明1是菱形;ECFG( )若 ,连结2 ABC 120、 ,求BD CG BDG的度数;( )若 , , , 是3 ABC 90 AB 6 AD

4、8 M EF的中点,求的长DM解:( )证明:,1AF 平分BAD,BAFDAF,四边形是平行四边形,ABCD , ,AD BC AB CDDAFCEF,BAFCFE,CEFCFE, ,CE CF又四边形是平行四边形,ECFG四边形为菱形;ECFG( )四边形2是平行四边形,ABCD , , ,AB DC AB DC AD BC ,ABC 120 , BCD 60 BCF 120由( )知 ,四边形1是菱形,CEGF ,BCG CE GE ,BCF 60 , ,CG GE CE DCG 120 ,EG DF DCG,BEG 120 AE 是BAD 的平分线,DAEBAE, ,AD BCDAEA

5、EB,BAEAEB, ,AB BE ,BE CDBEG ( ),DCG SAS ,BGEDGCBG DG,BGDCGE, ,CG GE CECEG 是等边三角形, ,CGE 60 ,BGD 60 ,BG DGBDG 是等边三角形, ;BDG 60( )如图 中,连接3 2, ,BM MC ,四边形ABC 90是平行四边形,ABCD四边形是矩形,ABCD又由( )可知四边形1为菱形,ECFG ,ECF 90四边形为正方形ECFGBAFDAF, ,BE AB DC 为M中点,EFCEMECM45,BEMDCM135,在BME 和DMC 中,BME ( ),DMC SAS ,MB MDDMCBMEB

6、MDBME+EMDDMC+EMD90,BMD 是等腰直角三角形 6, 8,ABAD 10,BDDMBD5 3如图,在正方形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点 O,以AD 为边向外作等边ADE,连接 CE,交 于 BDF(1)如图 1,若 AE ,求的长;DF(2)如图 2,点 为M的延长线上一点,连接 CM,连接且平分AMC,求FMABFM证:CM MF AM解:(1)如图 1,连接 OE,四边形是正方形,ABCD , 90, AD CD ADC OA OD OB OC ADE 是等边三角形 ,AD DE AE ADE 60 , CD AD OD OB , AE DE OD OAOE垂直

7、平分AD即 , OE AD DH AH ,OE OH+EH+ADC DHE 90 CD OECDFEOF,即DFOFDF+OF OD OF DF ( ),解得: DF DF DF1( )如图 ,连接2 2,过点 作EO FPQ CD交于 ,在N上截取MT MC,连接EOMA,设正方形边长为 ,aFT四边形是正方形,ADE 是等边三角形ABCD ,ADCAD AB CD DE a DAB 90 ADE 60易证OE AD OE,a ODa,由( )知CDFEOF1,即 a DF a OFDF+OFa OFa DF (a DF a )a DF DFa,DPF 是等腰直角三角形 DP PFDFaa,

8、 FQ a ,a CPFM 平分AMC,CMFAMF在MCF 和MTF中MCF(MTF SAS) CF FT ( )Rt CFP Rt FTQ HL QT PFa, AQ DP AQ QT BM+AB AT MT CM CM BM AB AT a 2a, a CM+BM MT+BM BT+2BM a 2 a+2BMa+2BM2CM BM2( )(CM+BM)CM BMa(a+2BM)2 2 2 2,CM BM BC aa() 2,aa+2BMBMa在 Rt BCM中, ,tan BMC BMC 60 AMF 30 cos AMF cos302MQ MF (BM+BT)+(BM+BT+AT)CM

9、+AM2MQ 2BM+2BQ 2BM+2BT+2QT 即CM AM+MFCMMF AM4在菱形 ABCD 中,ABC60,BD 为菱形的一条对角线(1)如图 1,过 作AE BC于点 ,交E于点 ,若 2,求菱形的面积;ABDFEFABCD(2)如图 2, 为菱形M外一点,过 作AAN BM交的延长线于点 ,连接NABCDBM, , AM DM AG DM于点 ,且AMNAMD,求证:DMBM+GAM(1)解:如图 1 中,四边形都是菱形,ABC60,ABC ABD ,DBC 30 ,AE BC ,BEF 90 ,EF 2 , ,BFE 60BF 2EF 4BFEABF+ FAB,ABF ,F

10、AB 30 ,BF AF 4 ,AE AF+EF 6 AB4, BC AB 4S BC AE 24菱形ABCD( )证明:如图 中,2 2AMNAMG,ANMN,AGDM, ,AN AGMNA , , ,MGA 90 AM AM AN AG ( ),Rt MAN Rt MAG HLNM MG,ANB , , ,AGD 90 AN AG AB AD ( ),Rt ANB Rt AGD HLABN , ,ADG BN DGBMD ,BAD 120 ,NMG 60AMN ,AMG 30 +DM BM MG DG BN MN( )2MNAM,DM BM+AM5如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,

11、点 E、F 分别在直线 AD 的两侧,且 AEDF, , A D AB DC(1)求证:四边形是平行四边形;BFCE(2)若12, 3,EBD60,则 BE 6 时,四边形AD DC是菱形(只BFCE需完成填空,不需写出具体过程)(1)证明:在ABE 和DCF 中,ABE ( ),DCF SAS ,ABEDCFBE FC,EBCFCB, ,BE FC四边形是平行四边形;BFCE(2)解:当四边形是菱形,BFCE则 ,BE EC 12, 3, ,ADDCAB DC 6,BCEBD60, ,EB ECEBC 是等边三角形, 6BE故答案为:6 6已知:如图,在ABCD中, 、 分别是G H、AD

12、BC的中点, 、 、 分别是对角线E O F BD上的四等分点,顺次连接 、 、 、 G E H F( )求证:四边形1是平行四边形;GEHF( )当2满足,AB BD条件时,四边形是菱形;ABCDGEHF( )若3BD 2AB探究四边形的形状,并说明理由;GEHF当 ,AB 2 ABD 120时,直接写出四边形的面积GEHF( )证明:连接 ,如图 所示:1 AC 1四边形是平行四边形,ABCD , OA OC OB OD,BD 的中点在上,AC 、 、 分别是对角线E O F上的四等分点,BD 、 分别为E F、OB OD的中点, 是G的中点,ADGF 为AOD 的中位线, , OA,GF

13、 OA GF同理: , OC,EH OC EH , ,EH GF EH GF四边形是平行四边形;GEHF( )解:当2满足AB BD条件时,四边形是菱形;理由如下:ABCDGEHF连接则,如图 所示:GH 2 , ,AG BH AG BH四边形是平行四边形,ABHG ,AB GH ,AB BD ,GH BD ,GH EF四边形是菱形;GEHF故答案为: ;AB BD( )解:四边形是矩形;理由如下:是平行四边形,GEHF3GEHF由( )得:四边形2 ,GH AB ,BD 2AB AB ,BD EF ,GH EF四边形是矩形;GEHF作 于 , AM BD M GN BD于 ,如图 所示:N

14、3则 ,AM GN 是G的中点,ADGN 是ADM 的中位线, AM,GN,ABD 120 ,ABM 60 ,BAM 30BM ,AB 1 AMBM, GN, ,BD 2AB 4 EF ,BD 2EFG 的面积 EF GN 2,四边形的面积 的面积 2 EFGGEHF 7如图,边长为6 的正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,AB 上的点,APBE,P 为垂足(1)如图1, , 2 ,点 是射线 上的一个动点,当ABT 为直角三角PFAF BF AET形时,求的长;AT(2)如图 2,若 ,连接 ,求证: AE AF CPCP FP(1)解:在正方形中,可得DAB90ABCD在 RtBA

15、E 中,tanABEABE30,点 是射线T上的一个动点,当ABT 为直角三角形时,分三种情况:的上方,ATB90,PFAB 当点 在T 显然此时点 和点 重合,即 T P AT AP3;当点 在 的下方,ATB90,T ABAB如图所示在 RtAPB 中,由 ,AF BF可得: 3,AF BF PFBPFFBP30,BFT60在 RtATB 中, 3,TF BF AFFTB 是等边三角形, 3, TB AT3 ;的下方,ABT90时,如图所示当点 在TAB在 RtFBT 中,BFT60, 3, tan603 BF BT BF在 RtATB 中: AT3 综上所述:当ABT 为直角三角形时,

16、的长为 3 或 3 或 3 ;AT(2)证明:如图所示,四边形是正方形,ABCD , ,DAB90,AB AD BC AD BC34在 RtEAB 中, ,AP BE1+290,3+290,13,134,tan1 ,tan3, , ,AE AF AB BC,PBCPA F,566+ 790, ,即 ,5+ 7 90 CPF 90 CP FP8已知:如图,在中, 、 分别是G H、 的中点, , ,垂足分AD BC AE BD CF BDABCD别为 、 E F( )求证:四边形1是平行四边形;GEHF( )已知 , 求四边形2 AB 5 AD 8是矩形时的长BDGEHF( )证明:四边形1是平

17、行四边形,ABCD , ,AD BC AD BCGDEFBH, 、 分别是G H、 的中点, , ,AD BC AE BD CF BD 在 和 Rt AED Rt CFB中, EG , AD GD FH ,BC HB ,GEDGDE,FBHBFHEG FH,GEDBFH, ,EG FH四边形是平行四边形;GEHF( )解:连接 GH,2当四边形是矩形时,EHF ,BFC 90GEHFFBHBFHEFHCBF,由( )可得: , ,1 GA HB GA HB四边形是平行四边形,GABH ,GH AB 5在矩形 中, ,且 , ,EF GH AB 5 AD 8GEHF,解得: BF, ,BE BF

18、 EF 5在ABE 和CDF中ABE ( ),CDF AAS ,BE DF BD BF+DF+如图,点 是正方形M的边上一点,连接,点 是线段 AM 上一点,CDEAM E9ABCDBC的平分线交延长线于点 FAM( )如图 ,若点 为线段1 1 E的中点, : : , BM CM 1 2 BE,求的长;ABAM( )如图 ,若2 2 ,求证:BF+DF AFDA DE解:( )设1 ,则BM x , ,CM 2x BC 3x , BA BC BA 3x在 Rt ABM中, 为斜边E中点,AM AM 2BE 2由勾股定理可得2 2AM MB +AB2,即 2 2,解得 40 x +9x x 2

19、 AB 3x 6( )延长2交过点 作垂直于A的直线于 点,过点 作H D 于 点DP AF PFDAFDF 平分CDE, 1 2 , DE DA DP AF 3 4 ,1+ 2+ 3+ 4 90 2+ 3 45 DFP 90 45 45 AH AFBAF+ DAF 90 , ,HAD+ DAF 90BAFDAH又 ,AB AD ABF ( )ADH SAS , AF AH BF DH Rt FAH是等腰直角三角形, AFHF ,HF DH+DF BF+DFBF+DFAF10在四边形 ABCD中,对角线、AC BD相交于点 ,过点 的两条直线分别交边O OAB、 、 于点 、 、 、 CD A

20、D BC E F G H【感知】如图,若四边形是正方形,且 ,则AG BE CH DF SABCDABCDAEOG四边形;SABCD正方形【拓展】如图,若四边形是矩形,且,设 ,AB a ADSSAEOGABCD四边形矩形 , ,求b BE m的长(用含 、 、 的代数式表示);a b mAG【探究】如图,若四边形是平行四边形,且 , , ,试确定 、AB 3 AD 5 BE 1 FABCD、 的位置,使直线G H、EF GH把四边形的面积四等分ABCD 解:【感知】如图,四边形 是正方形,ABCDOAG , ,OBE 45 OA OB在AOG 与BOE 中,AOGBOE,SS;SAEOGAO

21、BABCD四边形正方形故答案为: ;【拓展】如图,过 作 于 , 于 ,ON AD N OM AB MOSS,S,SSAOBABCDAEOGABCD矩形矩形四边形S,AOBAEOG四边形SAOBSBOE+SAOE,SAEOGSAOG+SAOE,四边形SS,BOEBOEAOGSBE OMb ,mb S AG aAG ON ,AG amAOGmb ,AG a AG;【探究】如图,过 作 , ,KL AB PQ ADO则 , ,KL 2OK PQ 2OQS ,AB KL AD PQABCD平行四边形 3 2OK 5 2OQ, ,S,S,SSAOBABCDAEOGABCD平行四边形平行四边形四边形SS

22、SS,AOBAEOG四边形,BOEAOGS ,BE OK 1 OK S ,AG OQBOEAOG 1 OK , ,AG OQ AG 当 , 时,直线AG CH BE DF 1、EF GH把四边形的面积四等分ABCD11如图,在矩形ABCD 中, , ,点 从点 出发向点 运动,运动到AB 8cm BC 16cm P D A点 停止,同时,点 从点 出发向点 运动,运动到点 即停止,点 、 的速度都Q B C C P QA是1cm/s连接、 、 设点 、 运动的时间为 PQ AQ CP P Q ts( )当 为何值时,四边形是矩形;1tABQPAQCPAQCP( )当 为何值时,四边形是菱形;2

23、t( )分别求出( )中菱形3 2的周长和面积解:( )在矩形1中, , ,AB 8cm BC 16cmABCD , ,BC AD 16cm AB CD 8cm由已知可得, , ( ) ,BQ DP tcm AP CQ 16 t cm在矩形中, , ,B 90 AD BCABQPABCD当BQ AP时,四边形为矩形, ,得 ,t 16 t t 8故当 时,四边形t 8s为矩形;ABQP( ) , ,2 AP CQ AP CQ四边形为平行四边形,AQCP当即AQ CQ时,四边形为菱形AQCP 时,四边形16 t为菱形,解得 ,t 6AQCP故当 时,四边形t 6s为菱形;AQCP ( )当 时,

24、 3 t 6s AQ CQ CP AP 16 6 10cm,则周长为 ;4 10cm 40cm面积为210cm 8cm 80cm12如图,在四边形连接 DF中, , , 是AB AD CB CD E CD上的 点,BE交于点 ,AC FABCD( )求证:BAFDAF,AFDCFE1;( )若 ,试证明:四边形2 AB CD是菱形;ABCD( )在( )的条件下,试确定点 的位置,使得EFDBCD,并说理由3 2E证明:( )在1 ABC和ADC 中,ABCADC,BAC DAC在ABF 和ADF,中,ABFADF,AFBAFD,CFEAFBAFDCFEBAFDAC,AFDCFE,;( ) ,

25、2 AB CDBACACD,BACDAC BACACD,DACACD, ,AD CD , ,AB AD CB CD ,AB CB CD AD四边形是菱形;ABCD( )四边形3是菱形,ABCD ,BCFDCFBC CD, ,CF CFBCFDCF,CBFCDF ,BE CDBEC ,DEF 90EFDBCD13如图,在ABC中,点 是边OAC上一个点,过点 作直线 MNBC 分别交ACB、O外角ACD 的平分线于点 、 E F( )若 , ,求1 CE 8 CF 6的长;OC( )连接 、 问:当点 在边2 AE AF O上运动到什么位置时,四边形是矩形?AECFAC证明你的结论( )证明:

26、交ACB 的平分线于点 ,交1 EF E ACB的外角平分线于点 ,FOCEBCE,OCFDCF, ,EF BC OECBCE,OFCDCF,OECOCE,OFCOCF, , ,OE OC OF OC ;OE OF OCE+ BCE+ OCF+ DCF 180, ,ECF 90在 Rt CEF中,由勾股定理得: EF ,10 OC OE ;EF 5( ) 当点 在边2 O上运动到中点时,四边形是矩形理由如下:AECFACAC当 为O的中点时, ,AC AO CO ,EO FO四边形是平行四边形,AECF ,ECF 90平行四边形是矩形的对角线AECF14如图,菱形 ABCD、AC BD相交于点

27、 ,过点 作O DDE AC 且 DE AC,连接 、 ,连接CE OE交AE OD于点 F( )求证: ;1 OE CD( )若菱形2的边长为 , 求 的长2 ABC 60 AEABCD( )证明:在菱形1中, ACABCD OC DE OC ,DE AC四边形是平行四边形是矩形OCED ,AC BD平行四边形OCED OE CD( )在菱形2中, ,ABC 60ABCD AC AB 2在矩形中,OCED CE OD在 中,Rt ACEAE15如图,以ABC( )求证:BDEBAC的各边,在边的同侧分别作三个正方形, ,ABDI BCFE ACHGBC;1( )求证:四边形2是平行四边形AD

28、EG( )直接回答下面两个问题,不必证明:3当ABC 满足什么条件时,四边形是矩形?ADEG当ABC 满足什么条件时,四边形是正方形?ADEG( )证明:四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形1都是正方形,ACHG , , ,GACEBC AC AG AB BD BC BE DBA 90ABCEBD(同为EBA 的余角)在BDE 和BAC 中,BDE ( ),BAC SAS( )BDEBAC2, ,BACBDEDE AC AGAD 是正方形BDA的对角线,ABDI BAD 45EDABDEBDA ,BDE 45DAG 360GACBACBAD 360 90 BAC 45225BAC EDA

29、+ DAG BDE 45 +225 BAC 180 ,DE AG四边形是平行四边形(一组对边平行且相等)ADEG( )当四边形是矩形时, DAG 903ADEG则 BADDAG 135,BAC 360 GAC 360 45 90 90即当 时,平行四边形BAC 135是矩形;ADEG当四边形是正方形时, ,且DAG 90 AG ADADEG由知,当 时, BAC 135DAG 90四边形是正方形,ABDI ABAD又四边形是正方形,ACHG ,AC AG ABAC当 且 ACBAC 135时,四边形是正方形ADEGAB AC AB 2在矩形中,OCED CE OD在 中,Rt ACEAE15如

30、图,以ABC( )求证:BDEBAC的各边,在边的同侧分别作三个正方形, ,ABDI BCFE ACHGBC;1( )求证:四边形2是平行四边形ADEG( )直接回答下面两个问题,不必证明:3当ABC 满足什么条件时,四边形是矩形?ADEG当ABC 满足什么条件时,四边形是正方形?ADEG( )证明:四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形1都是正方形,ACHG , , ,GACEBC AC AG AB BD BC BE DBA 90ABCEBD(同为EBA 的余角)在BDE 和BAC 中,BDE ( ),BAC SAS( )BDEBAC2, ,BACBDEDE AC AGAD 是正方形BDA的对角线,ABDI BAD 45EDABDEBDA ,BDE 45DAG 360GACBACBAD 360 90 BAC 45225BAC EDA+ DAG BDE 45 +225 BAC 180 ,DE AG四边形是平行四边形(一组对边平行且相等)ADEG( )当四边形是矩形时, DAG 903ADEG则 BADDAG

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