北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版).docx

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形
1．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上
任意一点，将
绕点 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 、 、 ．设点 的坐标
EN AM CM
BM
B
N
为（ ， ）．
m n
（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段
上，点 （﹣1，0）， （0，1）．且
B A
BD
＝ （0＜ ≤2），则点 的坐标为 （1，0） ，点 的坐标为 （0，﹣1） ；请
BM t
t
D
C
直接写出点 纵坐标 的取值范围是 0＜ ≤
；
N
n
n
（2）若正方形的边长为 2，求
的长，以及
+
+
的最小值．
AM BM CM
EC
（提示：连结 MN：
＝ +1，
＝ ﹣1）
解：（1）如图 1，以直线
为 轴，直线
x
为 轴，建立平面直角坐标系，
AC y
BD
∵四边形
是正方形，
ABCD
∴ ＝ ＝ ＝
OA OB OC OD
，
∵点 （﹣1，0）， （0，1），
B
A
∴ （1，0）， （0，﹣1）；
D
C
过 作
⊥
于 ，
h
N
NH BD
∴∠NHB＝90°，
∵将 绕点 逆时针旋转 60°得到 BN，
BM
B
∴∠NBH＝60°， ＝ ，
BM BN
∴ ＝
NH
BN＝
t，
∵0＜ ≤2，
t
∴点 纵坐标 的取值范围是 0＜ ≤ ；
N
n
n
故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜ ≤ ；
n

（ ）如图所示，连接
2
，过 作
MN E
⊥ ，交
EH BC
的延长线于 ，
CB H
由旋转可得， ＝ ，∠ ＝ °，
BM BN NBM 60
∴△BMN 是等边三角形，
∴ ＝ ，
MN BM
∵△ABE 是等边三角形，
∴ ＝ ，∠ ＝ °，
BE BA ABE 60
∴∠ABM＝∠EBN
，
∴△ABM≌△ （ ），
EBN SAS
∴
∴
＝ ，
AM EN
AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
∴当 ， ， ， 在同一直线上时，
E N M C
的最小值是
的长，
CE
AM+BM+CN
又∵∠ ＝ °，∠ ＝ °，
ABE 60 ABH 90
∴∠ ＝ °，
EBH 30
∴ △
Rt EBH
中， ＝
EH
＝ × ＝ ，
EB 2 1
∴ ＝
BH
＝
＝
，
∴ ＝
，
CH 2+
∴ △
Rt CEH
中， ＝
CE
＝
＝
＝
；
∴AM+BM+CM 的最小值为
．
+

2．如图，在▱ABCD 中，∠BAD
的平分线交
BC
于点 ，交
E
DC
的延长线于 ，以
F
、
EC CF
为邻边作▱ECFG
．
（ ）证明▱
1
是菱形；
ECFG
（ ）若∠ ＝ °，连结
2 ABC 120
、 ，求∠
BD CG BDG
的度数；
（ ）若∠ ＝ °， ＝ ， ＝ ， 是
3 ABC 90 AB 6 AD 8 M EF
的中点，求
的长．
DM
解：（ ）证明：，
1
∵AF 平分∠BAD
，
∴∠BAF＝∠DAF
，
∵四边形
是平行四边形，
ABCD
∴ ∥ ， ∥ ，
AD BC AB CD
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE
，
∴∠CEF＝∠CFE
，
∴ ＝ ，
CE CF
又∵四边形
是平行四边形，
ECFG
∴四边形
为菱形；
ECFG
（ ）∵四边形
2
是平行四边形，
ABCD
∴ ∥ ， ＝ ， ∥ ，
AB DC AB DC AD BC
∵∠ ＝ °，
ABC 120
∴∠
＝ °，∠ ＝
BCD 60 BCF 120
°
由（ ）知 ，四边形
1
是菱形，
CEGF
∴ ＝ ，∠BCG＝ ∠
CE GE
＝ °，
BCF 60
∴ ＝ ＝ ，∠ ＝ °，
CG GE CE DCG 120
∵ ∥ ，
EG DF
∴∠ ＝ °＝∠DCG，
BEG 120

∵AE 是∠BAD 的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE
，
∵ ∥ ，
AD BC
∴∠DAE＝∠AEB
，
∴∠BAE＝∠AEB
，
∴ ＝ ，
AB BE
∴ ＝ ，
BE CD
∴△BEG≌△ （ ），
DCG SAS
∴ ＝ ，∠BGE＝∠DGC
BG DG
，
∴∠BGD＝∠CGE
，
∵ ＝ ＝ ，
CG GE CE
∴△CEG 是等边三角形，
∴∠ ＝ °，
CGE 60
∴∠ ＝ °，
BGD 60
∵ ＝
，
BG DG
∴△BDG 是等边三角形，
∴∠ ＝ °；
BDG 60
（ ）如图 中，连接
3 2
， ，
BM MC
∵∠ ＝ °，四边形
ABC 90
是平行四边形，
ABCD
∴四边形
是矩形，
ABCD
又由（ ）可知四边形
1
为菱形，
ECFG
∠ ＝ °，
ECF 90
∴四边形
为正方形．
ECFG
∵∠BAF＝∠DAF
，

∴ ＝ ＝ ，
BE AB DC
∵ 为
M
中点，
EF
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME 和△DMC 中，
∵
，
∴△BME≌△ （ ），
DMC SAS
∴ ＝ ，
MB MD
∠DMC＝∠BME
．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵ ＝6， ＝8，
AB
AD
∴ ＝10，
BD
∴DM＝
BD＝5 ．
3．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点 O，以AD 为边向外作等边△ADE，
连接 CE，交 于 ．
BD
F
（1）如图 1，若 AE＝ ，求
的长；
DF
（2）如图 2，点 为
M
的延长线上一点，连接 CM，连接
且
平分∠AMC，求
FM
AB
FM
证：CM
＝
﹣ ．
MF AM
解：（1）如图 1，连接 OE，∵四边形
是正方形，
ABCD
∴ ＝ ，∠ ＝90°， ＝ ＝ ＝
AD CD ADC OA OD OB OC

∵△ADE 是等边三角形
∴ ＝ ＝ ＝ ，∠
AD DE AE
＝ °
ADE 60
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝
CD AD OD OB
∵ ＝ ， ＝
AE DE OD OA
∴OE
垂直平分
AD
即
⊥ ， ＝
OE AD DH AH
∴ ＝
＝
＝
，
OE OH+EH
+
∵∠ADC＝∠ ＝ °
DHE 90
∴ ∥
CD OE
∴△CDF∽△EOF
∴
∵
＝
，即
DF＝
OF
＝
DF+OF OD
＝
∴ ＝ ﹣
OF DF
∴
＝ （ ﹣ ），解得： ＝ ﹣ ．
DF DF DF
1
（ ）如图 ，连接
2 2
，过点 作
EO F
⊥
PQ CD
交
于 ，在
N
上截取
＝
MT MC
，连接
EO
MA
，设正方形边长为 ，
a
FT
∵四边形
是正方形，△ADE 是等边三角形
ABCD
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∠ADC＝∠
AD AB CD DE a DAB 90
＝ °∠
＝ °
ADE 60
易证
⊥
OE AD
∴ ＝
OE
，
a OD
＝
a，
由（ ）知△CDF∽△EOF
1
∴
＝
，即
• ＝ •
a DF a OF
∵DF+OF＝
a
∴ ＝
OF
﹣
a DF
∴
• ＝ （
a DF a
﹣ ）
a DF
∴ ＝
DF
a，
∵△DPF 是等腰直角三角形

∴ ＝ ＝
DP PF
DF＝
a＝
a，
∴ ＝ ﹣
FQ a
＝ ，
a CP
∵FM 平分∠AMC
，
∴∠CMF＝∠AMF
在△MCF 和△MTF
中
∴△MCF≌△
（
MTF SAS
）
∴ ＝
CF FT
∴ △ ≌ △ （ ）
Rt CFP Rt FTQ HL
∴ ＝ ＝
QT PF
a，
∵ ＝
AQ DP
∴ ＝
AQ QT
∵
∴
﹣ ＝ ＝
BM+AB AT MT CM
﹣ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ×
CM BM AB AT a 2
a＝
， ＝ ＝
a CM+BM MT+BM BT+2BM a 2
＝ ﹣ ×
a+2BM＝
a+2BM
∴
∵
∴
2﹣
CM BM
2＝（
﹣ ）（CM+BM）＝
CM BM
a（
a+2BM）
2﹣ 2＝ 2＝ 2，
CM BM BC a
a（
）＝ 2，
a
a+2BM
∴BM＝
a
在 △
Rt BCM
中， ∠
＝
＝
＝
，
tan BMC
∴∠ ＝ °
BMC 60
∴∠ ＝ °
AMF 30
∴
＝ ∠ ＝ °＝
cos AMF cos30
∴2MQ＝ MF
∵ ＝ ＝ ＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM
2MQ 2BM+2BQ 2BM+2BT+2QT

∴
即
CM AM
+
＝
MF
CM＝
﹣
MF AM
．
4．在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，BD 为菱形的一条对角线．
（1）如图 1，过 作
⊥
AE BC
于点 ，交
E
于点 ，若 ＝2，求菱形
的面积；
A
BD
F
EF
ABCD
（2）如图 2， 为菱形
M
外一点，过 作
A
⊥
AN BM
交
的延长线于点 ，连接
N
ABCD
BM
， ， ⊥
AM DM AG DM
于点 ，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+
G
AM．
（1）解：如图 1 中，
∵四边形
都是菱形，∠ABC＝60°，
ABC

∴∠ABD＝∠ ＝ °，
DBC 30
∵ ⊥ ，
AE BC
∴∠ ＝ °，
BEF 90
∵ ＝ ，
EF 2
∴ ＝
＝ ，∠
＝ °，
BFE 60
BF 2EF 4
∵∠BFE＝∠
∠
ABF+ FAB
，
∴∠ABF＝∠ ＝ °，
FAB 30
∴ ＝ ＝ ，
BF AF 4
∴ ＝
＝ ，
AE AF+EF 6
∴ ＝
AB
＝4
，
，
∴ ＝ ＝
BC AB 4
∴S
＝ • ＝
BC AE 24
．
菱形ABCD
（ ）证明：如图 中，
2 2
∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，
∴ ＝ ，
AN AG
∵∠MNA＝∠
＝ °， ＝ ， ＝ ，
MGA 90 AM AM AN AG
∴ △ ≌ △ （ ），
Rt MAN Rt MAG HL
∴
＝
NM MG
，
∵∠ANB＝∠ ＝ °， ＝ ， ＝ ，
AGD 90 AN AG AB AD
∴ △ ≌ △ （ ），
Rt ANB Rt AGD HL
∴∠ABN＝∠ ， ＝ ，
ADG BN DG
∴∠BMD＝△ ＝ °，
BAD 120
∴∠ ＝ °，
NMG 60
∴∠AMN＝∠ ＝ °，
AMG 30

∴
∴
﹣
+
DM BM MG DG BN MN
＝
﹣（ ﹣ ）＝2MN
＝
AM，
＝
DM BM
+
AM．
5．如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，点 E、F 分别在直线 AD 的两侧，且 AE＝DF，
∠ ＝∠ ， ＝ ．
A D AB DC
（1）求证：四边形
是平行四边形；
BFCE
（2）若
＝12， ＝3，∠EBD＝60°，则 BE＝ 6 时，四边形
AD DC
是菱形．（只
BFCE
需完成填空，不需写出具体过程．）
（1）证明：∵在△ABE 和△DCF 中，
∴△ABE≌△ （ ），
DCF SAS
∴ ＝ ，∠ABE＝∠DCF
BE FC
，
∴∠EBC＝∠FCB
，
∴ ∥ ，
BE FC
∴四边形
是平行四边形；
BFCE
（2）解：当四边形
是菱形，
BFCE
则
＝ ，
BE EC
∵ ＝12， ＝3， ＝ ，
AD
DC
AB DC
∴ ＝6，
BC
∵∠EBD＝60°， ＝ ，
EB EC
∴△EBC 是等边三角形，
∴ ＝6．
BE
故答案为：6．

6．已知：如图，在▱ABCD
中， 、 分别是
G H
、
AD BC
的中点， 、 、 分别是对角线
E O F BD
上的四等分点，顺次连接 、 、 、 ．
G E H F
（ ）求证：四边形
1
是平行四边形；
GEHF
（ ）当▱
2
满足
，
⊥
AB BD
条件时，四边形
是菱形；
ABCD
GEHF
（ ）若
3
＝
BD 2AB
①探究四边形
的形状，并说明理由；
GEHF
②当 ＝ ，∠
＝
AB 2 ABD 120
°时，直接写出四边形
的面积．
GEHF
（ ）证明：连接 ，如图 所示：
1 AC 1
∵四边形
是平行四边形，
ABCD
∴ ＝ ， ＝
OA OC OB OD
，
∴BD 的中点在
上，
AC
∵ 、 、 分别是对角线
E O F
上的四等分点，
BD
∴ 、 分别为
E F
、
OB OD
的中点，
∵ 是
G
的中点，
AD
∴GF 为△AOD 的中位线，
∴ ∥ ， ＝ OA，
GF OA GF
同理： ∥ ， ＝ OC，
EH OC EH
∴ ＝ ， ∥ ，
EH GF EH GF
∴四边形
是平行四边形；
GEHF
（ ）解：当▱
2
满足
⊥
AB BD
条件时，四边形
是菱形；理由如下：
ABCD
GEHF
连接
则
，如图 所示：
GH 2
＝ ， ∥ ，
AG BH AG BH
∴四边形
是平行四边形，
ABHG
∴ ∥
，
AB GH
∵ ⊥ ，
AB BD

∴
∴
⊥ ，
GH BD
⊥ ，
GH EF
∴四边形
是菱形；
GEHF
故答案为： ⊥ ；
AB BD
（ ）解：①四边形
是矩形；理由如下：
是平行四边形，
GEHF
3
GEHF
由（ ）得：四边形
2
∴ ＝ ，
GH AB
∵ ＝
，
BD 2AB
∴ ＝
AB
＝ ，
BD EF
∴ ＝ ，
GH EF
∴四边形
是矩形；
GEHF
②作
⊥ 于 ， ⊥
AM BD M GN BD
于 ，如图 所示：
N 3
则
∥ ，
AM GN
∵ 是
G
的中点，
AD
∴GN 是△ADM 的中位线，
∴ ＝ AM，
GN
∵∠
∴∠
∴∠
＝
°，
ABD 120
＝ °，
ABM 60
＝ °，
BAM 30
∴BM＝
＝ ，
AB 1 AM
＝
BM＝
，
∴ ＝
GN
，
∵ ＝
＝ ，
BD 2AB 4
∴ ＝
EF
＝ ，
BD 2
∴△EFG 的面积＝
× ＝ × ×
EF GN 2
＝
，
∴四边形
的面积＝ △ 的面积＝ ．
2 EFG
GEHF

7．如图，边长为6 的正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 上的点，AP⊥BE，P 为垂足．
（1）如图1， ＝ ， ＝2 ，点 是射线 上的一个动点，当△ABT 为直角三角
PF
AF BF AE
T
形时，求
的长；
AT
（2）如图 2，若 ＝ ，连接 ，求证： ⊥ ．
AE AF CP
CP FP
（1）解：在正方形
中，可得∠DAB＝90°．
ABCD
∵在 Rt△BAE 中，tan∠ABE
∴∠ABE＝30°．
＝
＝
＝
，
点 是射线
T
上的一个动点，当△ABT 为直角三角形时，分三种情况：
的上方，∠ATB＝90°，
PF
AB
① 当点 在
T

显然此时点 和点 重合，即 ＝ ＝
T P AT AP
＝3；②当点 在 的下方，∠ATB＝90°，
T AB
AB
如图①所示．
在 Rt△APB 中，由 ＝ ，
AF BF
可得： ＝ ＝ ＝3，
AF BF PF
∴∠BPF＝∠FBP＝30°，
∴∠BFT＝60°．
在 Rt△ATB 中， ＝ ＝ ＝3，
TF BF AF
∴△FTB 是等边三角形，
∴ ＝3， ＝
TB AT
＝3 ；
的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．
③当点 在
T
AB
在 Rt△FBT 中，∠BFT＝60°， ＝3， ＝ •tan60°＝3 ．
BF BT BF
在 Rt△ATB 中： ＝
AT
＝3 ．
综上所述：当△ABT 为直角三角形时， 的长为 3 或 3 或 3 ；
AT
（2）证明：如图③所示，
∵四边形
是正方形，
ABCD
∴ ＝ ＝ ， ∥ ，∠DAB＝90°，
AB AD BC AD BC
∴∠3＝∠4．
∵在 Rt△EAB 中， ⊥ ，
AP BE
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠3＝∠4，
∵tan∠1＝ ，tan∠3＝
，
∴
＝
，
∵ ＝ ， ＝ ，
AE AF AB BC
∴
＝
，
∴△PBC∽△PA F
，
∴∠5＝∠6．
∵∠6+∠ 7＝90°，

∴∠ ∠ ＝ °，即∠ ＝ °，
5+ 7 90 CPF 90
∴ ⊥ ．
CP FP
8．已知：如图，在
中， 、 分别是
G H
、 的中点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分
AD BC AE BD CF BD
ABCD
别为 、 ．
E F
（ ）求证：四边形
1
是平行四边形；
GEHF
（ ）已知 ＝ ， ＝ ．求四边形
2 AB 5 AD 8
是矩形时
的长．
BD
GEHF
（ ）证明：∵四边形
1
是平行四边形，
ABCD
∴ ∥ ， ＝ ，
AD BC AD BC
∴∠GDE＝∠FBH
，
∵ 、 分别是
G H
、 的中点， ⊥ ， ⊥ ，
AD BC AE BD CF BD

∴在 △ 和 △
Rt AED Rt CFB
中， ＝
EG
＝ ， ＝
AD GD FH
＝ ，
BC HB
∴ ＝ ，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH
EG FH
，
∴∠GED＝∠BFH
，
∴ ∥ ，
EG FH
∴四边形
是平行四边形；
GEHF
（ ）解：连接 GH，
2
当四边形
是矩形时，∠EHF＝∠
＝ °，
BFC 90
GEHF
∵∠FBH＝∠BFH
∴△EFH∽△CBF
，
，
∴
＝
，
由（ ）可得： ∥ ， ＝ ，
1 GA HB GA HB
∴四边形
是平行四边形，
GABH
∴ ＝ ＝ ，
GH AB 5
∵在矩形
∴ ＝
中， ＝ ，且 ＝ ， ＝ ，
EF GH AB 5 AD 8
GEHF
，
解得： ＝
BF
，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
BE BF EF 5
在△ABE 和△CDF
中
∴△ABE≌△ （ ），
CDF AAS
∴ ＝ ＝ ，
BE DF

∴ ＝
＝
＝
．
BD BF+DF
+
．如图，点 是正方形
M
的边
上一点，连接
，点 是线段 AM 上一点，∠CDE
AM E
9
ABCD
BC
的平分线交
延长线于点 ．
F
AM
（ ）如图 ，若点 为线段
1 1 E
的中点， ： ＝ ： ， ＝
BM CM 1 2 BE
，求
的长；
AB
AM
（ ）如图 ，若
2 2
＝ ，求证：BF+DF＝ AF．
DA DE
解：（ ）设
1
＝ ，则
BM x
＝ ， ＝ ，
CM 2x BC 3x
∵ ＝ ，∴ ＝ ．
BA BC BA 3x
在 △
Rt ABM
中， 为斜边
E
中点，
AM
∴ ＝ ＝
AM 2BE 2
．
由勾股定理可得
2＝ 2
AM MB +AB
2，
即 ＝ 2 2，解得 ＝ ．
40 x +9x x 2
∴ ＝ ＝ ．
AB 3x 6
（ ）延长
2
交过点 作垂直于
A
的直线于 点，过点 作
H D
⊥ 于 点．
DP AF P
FD
AF
∵DF 平分∠CDE
，
∴∠ ＝∠ ．
1 2
∵ ＝ ， ⊥
DE DA DP AF
∴∠ ＝∠ ．
3 4
∵∠ ∠ ∠ ∠ ＝ °，
1+ 2+ 3+ 4 90
∴∠ ∠ ＝ °．
2+ 3 45
∴∠ ＝ °﹣ °＝ °．
DFP 90 45 45
∴ ＝ ．
AH AF
∵∠
∠
BAF+ DAF 90
＝ °，∠
∠ ＝ °，
HAD+ DAF 90
∴∠BAF＝∠DAH
．
又
＝ ，
AB AD

∴△ABF≌△ （ ）．
ADH SAS
∴ ＝ ， ＝
AF AH BF DH
．
∵ △
Rt FAH
是等腰直角三角形，
∴ ＝ AF．
HF
∵ ＝ ＝ ，
HF DH+DF BF+DF
∴BF+DF
＝
AF．
10．在四边形 ABCD
中，对角线
、
AC BD
相交于点 ，过点 的两条直线分别交边
O O
AB、
、 、 于点 、 、 、 ．
CD AD BC E F G H
【感知】如图①，若四边形
是正方形，且
＝ ＝ ＝ ，则
AG BE CH DF S
＝
ABCD
ABCD
AEOG
四边形
；
S
ABCD
正方形
【拓展】如图②，若四边形
是矩形，且
＝
，设 ＝ ，
AB a AD
S
S
AEOG
ABCD
四边形
矩形
＝ ， ＝ ，求
b BE m
的长（用含 、 、 的代数式表示）；
a b m
AG
【探究】如图③，若四边形
是平行四边形，且 ＝ ， ＝ ， ＝ ，试确定 、
AB 3 AD 5 BE 1 F
ABCD
、 的位置，使直线
G H
、
EF GH
把四边形
的面积四等分．
ABCD

解：【感知】如图①，
∵四边形 是正方形，
ABCD
∴∠OAG＝∠ ＝ °， ＝ ，
OBE 45 OA OB
在△AOG 与△BOE 中，
，
∴△AOG≌△BOE
，
∴S
＝S
＝
；
S
AEOG
△AOB
ABCD
四边形
正方形
故答案为： ；
【拓展】如图②，过 作
⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
ON AD N OM AB M
O
∵S
∴S
＝
，S
＝
，
S
S
△AOB
ABCD
AEOG
ABCD
矩形
矩形
四边形
＝S
，
△AOB
AEOG
四边形
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S
AEOG＝S△AOG+S△AOE，
四边形
∴S
＝S
，
△BOE
△BOE
△AOG
∵S
＝
•
BE OM
＝
b＝ ，
mb S
＝
• ＝ AG• a＝
AG ON
• ，
AG a
m
△AOG
∴
mb＝
• ，
AG a
∴ ＝
AG
；
【探究】如图③，过 作 ⊥ ， ⊥ ，
KL AB PQ AD
O
则
＝ ， ＝ ，
KL 2OK PQ 2OQ
∵S
＝ • ＝ • ，
AB KL AD PQ
ABCD
平行四边形
∴ ×
＝ ×
3 2OK 5 2OQ
，
∴
＝ ，
∵S
＝
，S
＝
，
S
S
△AOB
ABCD
AEOG
ABCD
平行四边形
平行四边形
四边形
∴S
∴S
＝S
＝S
，
△AOB
AEOG
四边形
，
△BOE
△AOG
∵S
＝
• ＝ × × ，
BE OK 1 OK S
＝
• ，
AG OQ
△BOE
△AOG
∴ × × ＝
1 OK
• ，∴ ＝ ＝ ，
AG OQ AG

∴当
＝ ＝ ， ＝ ＝ 时，直线
AG CH BE DF 1
、
EF GH
把四边形
的面积四等分．
ABCD
11．如图，在矩形ABCD 中， ＝ ， ＝ ，点 从点 出发向点 运动，运动到
AB 8cm BC 16cm P D A
点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都
Q B C C P Q
A
是
1cm/s．连接
、 、 ．设点 、 运动的时间为 ．
PQ AQ CP P Q ts
（ ）当 为何值时，四边形
是矩形；
1
t
ABQP
AQCP
AQCP
（ ）当 为何值时，四边形
是菱形；
2
t
（ ）分别求出（ ）中菱形
3 2
的周长和面积．
解：（ ）∵在矩形
1
中， ＝ ， ＝ ，
AB 8cm BC 16cm
ABCD
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
BC AD 16cm AB CD 8cm
由已知可得， ＝ ＝ ， ＝ ＝（ ﹣ ） ，
BQ DP tcm AP CQ 16 t cm
在矩形
中，∠ ＝ °， ∥ ，
B 90 AD BC
ABQP
ABCD
当
＝
BQ AP
时，四边形
为矩形，
∴ ＝ ﹣ ，得 ＝ ，
t 16 t t 8
故当 ＝ 时，四边形
t 8s
为矩形；
ABQP
（ ）∵ ＝ ， ∥ ，
2 AP CQ AP CQ
∴四边形
为平行四边形，
AQCP
∴当
即
＝
AQ CQ
时，四边形
为菱形
AQCP
＝ ﹣ 时，四边形
16 t
为菱形，解得 ＝ ，
t 6
AQCP
故当 ＝ 时，四边形
t 6s
为菱形；
AQCP

（ ）当 ＝ 时， ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ＝
3 t 6s AQ CQ CP AP 16 6 10cm
，
则周长为 × ＝ ；
4 10cm 40cm
面积为
×
＝
2．
10cm 8cm 80cm
12．如图，在四边形
连接 DF．
中， ＝ ， ＝ ， 是
AB AD CB CD E CD
上的 点，BE
交
于点 ，
AC F
ABCD
（ ）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE
1
；
（ ）若 ∥ ，试证明：四边形
2 AB CD
是菱形；
ABCD
（ ）在（ ）的条件下，试确定点 的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．
3 2
E
证明：（ ）在△
1 ABC
和△ADC 中
，
，
∴△ABC≌△ADC
，
∴∠BAC＝ ∠DAC
在△ABF 和△ADF
，
中
，
∴△ABF≌△ADF
，
∴∠AFB＝∠AFD
，
∵∠CFE＝∠AFB
∴∠AFD＝∠CFE
∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE
，
，
；
（ ）∵ ∥ ，
2 AB CD
∴∠BAC＝∠ACD
，
，
∵∠BAC＝∠DAC

∴∠BAC＝∠ACD
，
∴∠DAC＝∠ACD
，
∴ ＝ ，
AD CD
∵ ＝ ， ＝ ，
AB AD CB CD
∴ ＝ ＝ ＝ ，
AB CB CD AD
∴四边形
是菱形；
ABCD
（ ）∵四边形
3
是菱形，
ABCD
∴ ＝ ，∠BCF＝∠DCF
BC CD
，
∵ ＝ ，
CF CF
∴△BCF≌△DCF
，
，
∴∠CBF＝∠CDF
∵ ⊥ ，
BE CD
∴∠BEC＝∠
＝ °，
．
DEF 90
∴∠EFD＝∠BCD
13．如图，在△ABC
中，点 是边
O
AC
上一个点，过点 作直线 MN∥BC 分别交∠ACB、
O
外角∠ACD 的平分线于点 、 ．
E F
（ ）若 ＝ ， ＝ ，求
1 CE 8 CF 6
的长；
OC
（ ）连接 、 ．问：当点 在边
2 AE AF O
上运动到什么位置时，四边形
是矩形？
AECF
AC
证明你的结论．
（ ）证明：∵ 交∠ACB 的平分线于点 ，交∠
1 EF E ACB
的外角平分线于点 ，
F
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF
，
∵ ∥ ，
EF BC
∴∠ OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF
，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF
，

∴ ＝ ， ＝ ，
OE OC OF OC
∴ ＝ ；
OE OF
∵∠
∠ ∠ ∠ ＝
OCE+ BCE+ OCF+ DCF 180
°，
∴∠ ＝ °，
ECF 90
在 △
Rt CEF
中，由勾股定理得： ＝
EF
＝ ，
10
∴ ＝ ＝
OC OE
＝ ；
EF 5
（ ） 当点 在边
2 O
上运动到
中点时，四边形
是矩形．理由如下：
AECF
AC
AC
当 为
O
的中点时， ＝ ，
AC AO CO
∵ ＝ ，
EO FO
∴四边形
是平行四边形，
AECF
∵∠ ＝ °，
ECF 90
∴平行四边形
是矩形．
的对角线
AECF
14．如图，菱形 ABCD
、
AC BD
相交于点 ，过点 作
O D
DE AC
∥ 且 DE＝ AC，
连接 、 ，连接
CE OE
交
AE OD
于点 ．
F
（ ）求证： ＝ ；
1 OE CD
（ ）若菱形
2
的边长为 ，∠ ＝ °．求 的长．
2 ABC 60 AE
ABCD
（ ）证明：在菱形
1
中， ＝ AC．
ABCD OC
∴ ＝ ．
DE OC
∵ ∥ ，
DE AC
∴四边形
是平行四边形．
是矩形．
OCED
∵ ⊥ ，
AC BD
∴平行四边形
OCED
∴ ＝ ．
OE CD
（ ）在菱形
2
中，∠ ＝ °，
ABC 60
ABCD

∴ ＝ ＝ ．
AC AB 2
∴在矩形
中，
OCED
＝ ＝
CE OD
．
在 △
中，
Rt ACE
AE＝
15．如图，以△ABC
（ ）求证：△BDE≌△BAC
．
的各边，在边
的同侧分别作三个正方形
， ，
ABDI BCFE ACHG
．
BC
；
1
（ ）求证：四边形
2
是平行四边形．
ADEG
（ ）直接回答下面两个问题，不必证明：
3
①当△ABC 满足什么条件时，四边形
是矩形？
ADEG
②当△ABC 满足什么条件时，四边形
是正方形？
ADEG
（ ）证明：∵四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形
1
都是正方形，
ACHG
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，∠GAC＝∠EBC＝∠ ＝ °．
AC AG AB BD BC BE DBA 90
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA 的余角）．
在△BDE 和△BAC 中，
，
∴△BDE≌△ （ ），
BAC SAS
（ ）∵△BDE≌△BAC
2
，
∴ ＝ ＝ ，∠BAC＝∠BDE
DE AC AG
．
∵AD 是正方形
∴∠BDA＝∠
的对角线，
ABDI
＝ °．
BAD 45
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠ ﹣ °，
BDE 45
∠DAG 360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝

＝360°﹣ °﹣∠ ﹣ °
90 BAC 45
＝225°﹣∠BAC
∴∠ ∠ ＝∠ ﹣ ° °﹣∠ ＝ °
EDA+ DAG BDE 45 +225 BAC 180
∴ ∥ ，
DE AG
∴四边形
是平行四边形（一组对边平行且相等）．
ADEG
（ ）①当四边形
是矩形时，∠ ＝ °．
DAG 90
3
ADEG
则∠ ＝ °﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠ ＝ °﹣ °﹣ °﹣ °＝135°，
BAC 360 GAC 360 45 90 90
即当∠ ＝ °时，平行四边形
BAC 135
是矩形；
ADEG
②当四边形
是正方形时，∠ ＝ °，且
DAG 90
＝ ．
AG AD
ADEG
由①知，当∠
＝ °时，∠
＝ °．
BAC 135
DAG 90
∵四边形
是正方形，
ABDI
∴ ＝ AB．
AD
又∵四边形
是正方形，
ACHG
∴ ＝ ，
AC AG
∴ ＝ AB．
AC
∴当∠ ＝ °且 AC＝
BAC 135
时，四边形
是正方形．
ADEG
AB

∴ ＝ ＝ ．
AC AB 2
∴在矩形
中，
OCED
＝ ＝
CE OD
．
在 △
中，
Rt ACE
AE＝
15．如图，以△ABC
（ ）求证：△BDE≌△BAC
．
的各边，在边
的同侧分别作三个正方形
， ，
ABDI BCFE ACHG
．
BC
；
1
（ ）求证：四边形
2
是平行四边形．
ADEG
（ ）直接回答下面两个问题，不必证明：
3
①当△ABC 满足什么条件时，四边形
是矩形？
ADEG
②当△ABC 满足什么条件时，四边形
是正方形？
ADEG
（ ）证明：∵四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形
1
都是正方形，
ACHG
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，∠GAC＝∠EBC＝∠ ＝ °．
AC AG AB BD BC BE DBA 90
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA 的余角）．
在△BDE 和△BAC 中，
，
∴△BDE≌△ （ ），
BAC SAS
（ ）∵△BDE≌△BAC
2
，
∴ ＝ ＝ ，∠BAC＝∠BDE
DE AC AG
．
∵AD 是正方形
∴∠BDA＝∠
的对角线，
ABDI
＝ °．
BAD 45
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠ ﹣ °，
BDE 45
∠DAG 360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝

＝360°﹣ °﹣∠ ﹣ °
90 BAC 45
＝225°﹣∠BAC
∴∠ ∠ ＝∠ ﹣ ° °﹣∠ ＝ °
EDA+ DAG BDE 45 +225 BAC 180
∴ ∥ ，
DE AG
∴四边形
是平行四边形（一组对边平行且相等）．
ADEG
（ ）①当四边形
是矩形时，∠ ＝ °．
DAG 90
3
ADEG
则∠ ＝ °﹣∠BAD﹣∠DAG﹣