北师大九年级数学上册期中复习资料.docx

九年级期中复习资料
☞ 特殊平行四边形
☞ 考点归纳
归纳 1：矩形
基础知识归纳：
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形
基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个
内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是
直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，
通常证这个四边形的对角线相等．
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ACB＝30°，则∠
AOB 的大小为（ ）
A、30°
B、60°
C、90°
D、120°
归纳 2：菱形
1

基础知识归纳：
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但
它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些
特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
【例 2】如图，已知 AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是
（ ）．
（A）△ABD 与△ABC 的周长相等； （B）△ABD 与△ABC 的面积相等；
（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；
（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．
归纳 3：正方形
基础知识归纳：
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2

2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对
角
（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角
线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可
以判定．
【例 3】如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F．有
甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 A﹣B﹣F﹣C 的路径行走至 C，乙
沿着 A﹣F﹣E﹣C﹣D 的路径行走至 D，丙沿着 A﹣F﹣C﹣D 的路径行走至 D．若三
名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是
（ ）
A． 甲乙丙
B． 甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙
中考
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形．
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
2．已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当 AD=BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
3

B．当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形
C．当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形
D．当 AC=BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形
3．如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长
为 28，则 OE 的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
4．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形
ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
3
B．2 3
C．2 6
6
A．
D．
5．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？
3
6．如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 cm，则对角线 AC 长和 BD 长之
比为（ ）
3
A．1：2 B．1：3 C．1： 2
D．1：
3 5
7．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE= ，且
4

∠ECF=45°，则 CF 的长为（ ）
5
10
10
5
A．2 10
B．3 5
C．3
D． 3
8．如图，已知 E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，
则四边形 EFGH 的面积为 cm2．
9．菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0），∠DOB=60°，
点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0，﹣1），当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标
为
．
10．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在
DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则 AE= ．
11．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠BED 的度数是
．
5

12．如图，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，连接 AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
13．如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，
且 PA=PE，PE 交 CD 于 F．
（1）PC=PE；
（2）求∠CPE 的度数；
（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，
连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．
14．如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放，点 A1，A2，…An 分别
是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
6

1
1
A．n B．n﹣1 C．（4 ）n﹣1 D．4 n
15．如图，矩形纸片 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且 AE=1，BE 的垂直平分线 MN
恰好过点 C．则矩形的一边 AB 的长度为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
16．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A． 等腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
1
17．如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE= AB，将矩形沿
3
直线 EF 折叠，点B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接BP 交 EF 于点 Q，对于下列
结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是
（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①④
18．菱形 ABCD 中，若对角线长 AC=8cm，BD=6cm，则边长 AB=
cm．
19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，作 AF∥CE，BE∥DF，AF 交 BE 与 G 点，
交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．
7

求证：△EBC≌△FDA．
☞ 一元二次方程
☞ 考点归纳
归纳 1：一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 ，且系数不为 0 ，
这样的方程叫一元二次方 程．
一般形式： ax ＋ bx+c=0(a ≠ 0 ）。 注意： 判断某方程是否为一元二次方
2
程时，应首先将方程化为一般形式。
【例 1】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A ． ax ＋ bx+c=0
2
B. k x ＋ 5k+6=0
2
C.3x ＋ 2x+ =0
2
D.( k ＋ 3) x ＋ 2x+1=0
2
2
归纳 2：一元二次方程的解法
1. 直接开平方法：对形如 (x+a ） =b （ b ≥ 0 ）的方程两边直接开平方而
2
转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=
=-a+
=-a-
2. 配方法：用配方法解一元二次方程： ax ＋ bx+c=0(k ≠ 0 ）的一般步骤
2
是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1 ，
即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的
平方；化原方程为 (x+ a ） = b 的形式；⑤如果 b ≥ 0 就可以用两边开平
2
方来求出方程的解；如果 b ≤ 0 ，则原方程无解．
8

3. 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方
推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b － 4ac ≥ 0) 。
2
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定 a ， b ， c 的值；③求出 b － 4ac
2
的值，当 b － 4ac ≥ 0 时代入求根公式。
2
4. 因式分解法： 用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解
法．理论根据：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 。步骤是：①将方程右边化为 0 ；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0 ，得到两个一
元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5 ．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a ≠ 0 ．因当 a=0 时，不含
有二次项，即不是一元二次方程．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定
a ， b ， c 的值；②若 b － 4ac ＜ 0 ，则方程无解．
2
⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数
式．如－ 2(x ＋ 4) =3 （ x ＋ 4 ）中，不能随便约去 x ＋ 4 。
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟
练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
6 ．一元二次方程解的情况
⑴ b － 4ac ≥ 0 方程有两个不相等的实数根；
2
⑵ b － 4ac=0 方程有两个相等的实数根；
2
⑶ b － 4ac ≤ 0 方程没有实数根。
2
解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，
往往首先考虑用 b － 4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
2
【例 2】分别用配方法、十字相乘法和公式法解方程：
x ＋ 2x － 3=0
2
归纳 3：韦达定理
9

对于方程 ax ＋ bx+c=0(a ≠ 0 ）来说， x +x =— ， x ● x= 。
2
1
2
1
2
利用韦达定理可以求一些代数式的值 （式子变形） ，如
。
解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数
时，可以用韦达定理。
【例 3】已知方程 5x +kx － 10=0 一个根是－ 5 ，求它的另一个根及 k 的值．
2
中考
1.如果在－ 1 是方程 x +mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ）
A ．－ 2
2.方程
B ．－ 3
的解是（ ）
C ． 1
D ． 2
A ．
3.若 n 是方程
的根， n ≠ 0 ，则 m+n 等于（ ）
A ．－ 7 B ． 6 C ． 1 D ．－ 1
4.关于 x 的方程
是（ ）
的两根中只有一个等于 0 ，则下列条件中正确的
A ． m ＝ 0 ， n ＝ 0
C ． m ≠ 0 ， n = 0
B ． m ＝ 0 ， n ≠ 0
D ． m ≠ 0 ， n ≠ 0
5.以 5 － 2 和 5+2 为根的一元二次方程是（ ）
A ．
C ．
B ．
D ．
10

6.已知 ， 是方程 x － x － 3=0 的两根，那么
值是（ ）
A ． 1
B ． 5
C ． 7
D 、
7.关于 x 的方程
是（ ）
有两个不相等的实根，那么 m 的最大整数
A ． 2
B ．－ 1
C ． 0
D ． l
8.已知一元二次方程 x ＋ 3x+1=0 的两个根为 x， x 那么（1+ x ）（1+ x）
1
1
2
2
的值等于 _______.
9.已知一个一元二次方程 x +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 P
的值是 _______.
10.如图，在□ ABCD 中， AE ⊥ BC 于 E ， AE=EB=EC=a ，且 a 是一元二次
方程 x +2x － 3=0 的根，则□ ABCD 的周长是 _______
11.关 于 x 的方程
k=_______
的一次项系数是－ 3 ，则
12.关于 x 的方程
是一元二次方程，则 a=__________.
11

☞ 概率的进一步认识
☞ 考点归纳
归纳 1：用树状图法或列表法求概率
列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多
时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。一个因素作为行，另
一个因素作为列，列出表格。
树状图法求概率：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率
的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法
就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
注： 利用树状图或列表法可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的
结果，能较方面的求出某些事件的概率。
当设及两步试验的随即事件的 概率时，可用列表法或树状图法； 当设及两
步 以上 试验的随即事件的 概率时，用树状图法求概率。
用 树状图法或列表法求概率时可能出现的结果为有限个；各种结果出现的
可能性相同。
【例 1】甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字 1,1,2,乙同学口袋中也有三张
卡片，分别写着数字 1,2，2.两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两
人摸出的卡片上的数字之和为偶数则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。
☞ 中考
一、选择题
1 、 “ 服务他人，提升自我 ” ，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初
三的 5 名同学（ 3 男两女）成立了 “ 交通秩序维护 ” 小分队，若从该小分
队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（ ）
12

A ．
B ．
C ．
D ．
2、（2014 潍坊）右图是某市 7月 1 日至 10 日的空气质 量指数趋势图，空气质
量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，
某人随机选择 7月1日 至 7月8日 中的某一天到达该市，并连续停留 3 天．则
此 人 在 该 市 停 留 期 间 有 且 仅 有 1 天 空 气 质 量 优 良 的 概 率 是
( )
A 、 B、 C、 D、
3、某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小
睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和和小睿选到同一课程的概率是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 5 个红球和 3 个黄球，从中随机摸出
一个，摸到黄球的概率是（ ）
A.
B ．
C ．
D ．
4 、 下列说法正确的是（ ）
A ． “ 打开电视机，它正在播广告 ” 是必
然事件
B ． “ 一个不透明的袋中装有 8 个红球，从
中摸出一个球是红球 ” 是随机事件
C ． 为了了解我市今年夏季家电市场中空调
的质量，不宜采用普查的调查方式进行
D ． 销售某种品牌的凉鞋，销售商最感兴趣的
是该品牌凉鞋的尺码的平均数
5 、 在﹣ 2 ，﹣ 1 ， 0 ， 1 ， 2 这五个数中任取两数 m ， n ，则二次
函数 y= （ x ﹣ m ） +n 的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
2
13

A ． B ． C ． D ．
6 、 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、
白球 2 个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7 、 如图， ▱ ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， EF 、 GH 过点 O ，
且点 E 、H 在边 AB 上，点 G 、F 在边 CD 上，向 ▱ ABCD 内部投掷飞镖（每
次均落在 ▱ ABCD 内，且落在 ▱ ABCD 内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区
域的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个
人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人
手势相同 ( 都是手心或都是手背 ) ，则这两人先打，若三人手势相同，则重新
决定。那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 ______.
9 、 如图， A. B 是数轴上两点。在线段 AB 上任取一点 C ，则点 C 到表示
1 的点的距离不大于 2 ） 的概率是（ ）
A. ， B. ， C. ， D.
10 、 所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为
期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类， A ：特别好； B ：好； C ：
一般； D ：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统
计图解答下列问题：
14

（ 1 ）本次调查中，张老师一共调査 了 名同学，其中 C 类女生有 名，
D 类男生有 名；
（ 2 ）将上面的条形统计图补充完整；
（ 3 ）为了共同进步，张老师想从被调査的 A 类和 D 类学生中分别选取一位
同学进行 “ 一帮一 ” 互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位
同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
11 、甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各 1 次
（ 1 ）若两次数字之差的绝对值为 0 ， 1 或 2 ，则甲胜，否则乙胜。这个
游戏对双方公平吗？为什么？
（ 2 ）若两次数字和是 2 的倍数，则甲胜，而若和是 3 的倍数或 5 的倍数，
则 乙 胜 。 这 个 游 戏 对 双 方 公 平 吗 ？ 为 什 么 ？
12 、 2019 年 5 月，我市某中学举行了“中国梦·校园好少年”演讲比赛活动，
15

根据学生的成绩划分为 A ， B ， C ， D 四个等级，并绘制了不完整的两种统
计图。
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（ 1 ）参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整；
（ 2 ）扇形统计图中， m ＝ ， n ＝ ； C 等级对应的圆心角为 度；
（ 3 ）学校欲从获 A 等级的学生中随机选取 2 人，参加市举办的演讲比赛，
请利用列表法或树形图法，求获 A 等级的小明参加市比赛的概率 .
13 、甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标
有数字 2 ， 3 ， 5 ．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（ 1 ）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请
用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（ 2 ）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的
倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
14 、八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况
16

进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”
四个类别，每位同学仅选一项，根 据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇
形统计图．根据图表提供的信息，回答下列问题：
类别
小说
频数（人数）
频率
0.5
戏剧
散文
其他
4
10
6
0.25
1
合计
m
（ 1 ）计算 m=
；
（ 2 ）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为
；
（ 3 ）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任
意选出 2 名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2
人恰好是乙和丙的概率．
15 、 锐锐参加我市电视台组织的 “ 牡丹杯 ” 智力竞答节目，答对最后两道
单选题就顺利通关，第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这
两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个 “ 求助 ” 可以用（使用 “ 求助 ”一
次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果锐锐两次“ 求助 ”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率
是
．
（2）如果锐锐两次“ 求助 ”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率
是
．
（ 3 ）如果锐锐将每道题各用一次“ 求助 ，请用树状图或者列表来分析他顺
序通关的概率．
16、“ 校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全
17

知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘
制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问
题：
（1）接受问卷调查的学生共有
分所对应扇形的圆心角为
人，扇形统计图中 “ 基本了解 ” 部
；
（ 2 ）请补全条形统计图；
（ 3 ）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对
校园安全知识达到 “ 了解 ” 和 “ 基本了解 ” 程度的总人数；
（ 4 ）若从对校园安全知识达到了 “ 了解 ” 程度的 3 个女生和 2 个男生
中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1
个男生和 1 个女生的概率．
☞ 图形的相似
☞ 考点归纳
归纳 1：比例线段
基础知识归纳：
比例线段 ：四条线段 a 、 b 、 c 、 d 中，如果a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，
即
（或 a ： b=c ： d ），那么，这四条线段 a 、 b 、 c 、 d 叫做
成比例线段，简称比例线段。（ 注意：在求线段比时， 线段单位要统一 ， 单
18

位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
【例 1】 b,a,d,c 是成比例线段，其中 a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段 d 的长度。
归纳 2：平行线段成比例定理
基础知识归纳：
1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截 , 所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：
∵AD//BE//CF,
∴
2.推论 : 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
几何语言： 由 DE∥BC 可得：
定理应用更加广泛,条件是平行.
.此推论较原
【例 2】如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC,EF//BC, = _______ 。
19

归纳 3：相似三角形
基础知识归纳：
1、相似三角形
（1） 定义 ：三角对应相等，三边对应成比例 的两个三角形相似。
几种特殊三角形的相似关系： 两个全等三角形一定相似 （相似比为 1）。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
（2） 性质 ：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
（3）相似比 ：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的 相似比 。
如△ ABC 与△ DEF 相似，记作△ ABC ∽△ DEF 。 相似比为 k 。
（4） 判定 ： ① 定义法 ：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
② 三角形相似的预备定理 ：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似。
2、三角形相似的判定定理 ：
判定定理 1 ： 两角对应相等的两个三角形相似。 (此定理用的最多)
几何语言：在 △ABC 和△DEF 中
如果<A=<D,<B=<E，那么 △ABC∽△DEF
判定定理 2 ：
20

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在 △ABC 和△DEF F中
如果<A=<D,且 ，那么 △ABC∽△DEF
判定定理 3 ： 三边对应成比例的两个三角形相似。
几何语言：（如上图）在 △ABC 和△DEF 中
如果 ，那么 △ABC∽△DEF
3、直角三角形中的相似问题：
直角三角形相似判定定理 :
1. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
2. 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理 ：
CD²=AD·BD，
AC²=AD·AB，
BC²=BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
4.相似图形中常见的基本图形：
21

5.相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应
边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。
【例 3】例 1：如图，（1）若
________,则△ ABC ∽△AEF；（2）若∠E＝
________，则△ ABC ∽△AEF。
【例 4】如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°， CD ⊥ AB 于 D ，
(1)求证： AC = AD · AB ； BC = BD · BA ；
2
2
(2)求证： CD = AD · AD ；
2
(3)求证： AC · BC = AB · CD ．
22

中考
1 、如图，
是由
经过位似变换得到的，点 是位似中心，
分别是
的中点，则
D．
与
的面积比是（ ）
A．
B．
C．
第1题图
第2题图
2、如上图，直角梯形 ABCD 中，∠ BCD ＝ 9 0°， A D∥ BC ， BC ＝ CD ，
E 为梯形内一点，且∠ BEC ＝ 9 0°，将△ BEC 绕 C 点旋转 9 0°使 BC 与 DC
重合，得到△ DCF ，连 EF 交 CD 于 M ．已知 BC ＝ 5 ， CF ＝ 3 ，则 DM:
MC 的值为 （ ）
A. 5:3 B.3 : 5 C .4 :3 D.3 :4
3、已知
，相似比为 3，且
的周长为 18，则
的
周长为（ ）
A．2 B． 3 C．6 D．54
4、 如图,Rt△ ABC 中, AB ⊥ AC ,AB =3, AC =4, P 是 BC 边上一点,作 PE ⊥
AB 于E, PD ⊥ AC 于D ,设 BP = x ,则 PD+PE =（ ）
A.
B.
C. D.
5、 如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 的三个正方形，则 满足的关
系式是（ ）
23

A、
B、
C、
D、
6、如果两个相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形面积的比
是
．
7、 两个相似三角形的面积比 S :S 与它们对应高之比 h :h 之间的关系
1
1
2
2
为
．
8、在同一时刻，身高 1.6 米 的小强在阳光下的影长为 0.8 米 ，一棵大树的影
长为 4.8 米 ，则树的高度为 ______米．
9、如图，在△ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DC＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交
AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面积.
10、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，
CG 与 AD 相交于点 N．
求证：（1）
（2）
；
24

11、 如图所示， E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点， EF ⊥ DE 交 BC 于
点 F ．
（1）求证： ADE ∽ BEF ；
（2）设正方形的边长为 4， AE = ， BF = ．当 取什么值时， 有最
大值?并求出这个最大值．
九年级数学上册期中模拟试卷
一、 精心选一选，想信你一定能选对！（每题 3 分，共 30 分 ）
1 ．三角形的两边长分别为 2 和 6 ，第三边是方程 x -10x+21=0 的解，则第三边的长为
2
（
）
A ． 7
2 ．方程 x -3x=0 的解为（
B ． 3,
C ． 7 或 3
D ．无法确定
）
2
A ．x=0
B ．x=3
C ． x =0 ， x =-3
D ．x =0 ， x =3
1
2
1
2
3 ．下列说法正确的是（
）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
25

B. 对角线相等的四边形一定是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
4 ．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A ．对角线平分一组对角
B. 对角线相等
D. 四条边相等
C ．对角线互相垂直平分
5 ．菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8 ，则这个菱形的周长是（
）
A. 24
B ． 20
C ． 10
D ． 5
6 、如果 x:(x+y) ＝ 3:5 ，那么 x:y ＝ (
)
A.
B.
C.
D.
7 、已知
，则
的值是（
）
A.
B.
C.
D.
8 、如下图， 在△ ABC 中，看 DE∥ BC ，
， DE ＝ 4 cm ，则 BC 的长为 ( )
A ． 8 cm B ． 12 cm C ． 11 cm
D ． 10 cm
9 ．平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 是两条对角线，如果添 加一个条件，即可推出平行
四边形 ABCD 是矩形，那么这个条件是
（
）
A ． AB=BC
B ． AC=BD
C ． AC ⊥ BD
D ． AB ⊥ BD
26

10.2020 年张掖市政府投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计 2014 年投资
9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每 年市政府投资的
增长率为 x ，根据题意，列出方程为（
）
A.2(1+x) =9.5
B.2(1+x)+2(1+x) =9.5
2
2
C. 2+2(1+x)+2(1+x) =9.5
D. 2(1+x)=9.5
2
二、填空题（每空 4 分，共 32 分）
11 ．已知 Rt △ ABC 中 , ∠ ABC=90 °， BD 是斜边 AC 上的中线，若 BD=3 ㎝，则 AC ＝
_____
㎝．
12 ．已知 E 、 F 、 G 、 H 是四边形 ABCD 各边上的中点，则四边形 EFGH 的形状是
__________
．
13 ．方程 5x =4x 的根是__________ .
2
14 ．已知正方形的面积为 4 ，则正方形的 对角线长为 ________.
15. 若关于 x 的方程 3x +mx+m-6=0 有一根是 0 ， 则 m 的值为 ________.
2
16 ．关于 x 的方程
有实数根， k 的取值范围 ______ . .
的比例中项，则 ＝__________．
17 、已知 ＝ 4 ， ＝ 9 ， 是
18 、如图，要使 Δ ABC ∽ Δ ACD ，需补充的条件是 __________．（只要写出一种）
三、解答题（ 88 分）
19. 解方程（ 4 分 X 4 ）
（ 1 ）
（ 2 ） 3x － 6x= － 3
2
27

（ 3 ） x(x-2)=x-2
4 ）（ x+8 ）（ x+1 ） =-12
20 . （ 6 分）小明和小芳做配紫色游戏
（ 1 ）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（ 2 ）若出现紫色，则小明胜。此游戏的规则对 小明、小芳公平吗？试说明理由．
21. （ 8 分） 如右图，菱形 ABCD 的周长为 40cm ，它的一条对角线 BD 长 10cm.
⑴求菱形的每一个内角的度数 .
⑵求菱形另一条对角线 AC 的长 .
28

22. （ 8 分）如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余
下部分作为耕地．若耕地面积需要 551 米，则修建的路宽应为多少米？
23. （ 8 分）已知菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 CB 、 CD 上的点，且 BE=DF.
求证：⑴△ ABE ≌ △ ADF ；
⑵∠ AEF= ∠ AFE.
24. （ 8 分）某商场将进货单价为 18 元的商品，按每件 20 元销售时，每天可销售 100
件，如果每件提价 1 元，销售量 就要减少 10 件，那么该商品的售出价格定为多少元时，
才能使每天获得最大利润？每天最大的利润是多少？
25. （ 8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ，∠ AOD=60 °， AB=
AE ⊥ BD 于点 E ，求 OE 的长 .
，
29

26. （ 8 分）如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，点 D ， E ， F 分别是 BC ， AB ，
AC 的中点．
求证：四边形 AEDF 是菱形．
27. （ 8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 cm ， OB=6 cm ，点 P 从 O 点
开始沿 OA 边向点 A 以 1cm/s 的速
度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动，如果 P 、 Q 同时出
发，用 （单位：秒）
表示移动的时间（
），那么：
（ 1 ）当 为何值时， △ POQ 与△ AOB