北师大版八年级数学下册-《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(基础)--含答案解析.docx

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【巩固练习】
一、 选择题
1.△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 边于点 D，∠BDC=75°，则∠A 的度数是（ ）
A． 35° B． 40° C． 70° D． 110°
2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3个D． 不确定
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；
②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④
4．如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE
≌△ACD 的是（ ）
A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC
5．（2015•青岛）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，
垂足为 E，DE=1，则 BC=（ ）
A．
B．2
C．3
D． +2
6．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形
的周长是（ ）
A．13cm
B．14cm C．13cm 或 14cm D．以上都不对
7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（ ）
A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对
8．面积相等的两个三角形（ ）
A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对
二、 填空题
9.如果等腰三角形的一个底角是 80°，那么顶角是 _________ 度．
10.△ABC 中，∠A 是∠B 的 2 倍，∠C 比∠A+∠B 还大 12°，那么∠B= _________ 度．
11．（2015 秋•洛阳校级月考）如果 a，b，c 为三角形的三边，且（a﹣b） +（a﹣c） +|b
2
2
﹣c|=0，则这个三角形是
．
1

12．如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，请你添加一个
适当的条件： _________ ，使△AEH≌△CEB．
13．等腰直角三角形一条边长是 1 cm，那么它斜边上的高是 _________ ．
14．在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断
作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： _________ ．
15．在△ABC 中，边 AB、BC、AC 的垂直平分线相交于 P，则 PA、PB、PC 的大小关系是
_________ ．
16．已知△ABC 中，∠A=90°，角平分线 BE、CF 交于点 O，则∠BOC= _________ ．
三、 解答题
17.（2015 秋•定州市期中）如图，四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB∥CD，M 为 BC 边上的一点，
且 AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M 为 BC 的中点．
18.（2016 秋•太和县期中）如图：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 F 点，过 F 点作
DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E．求证：
（1）BD=DF．
（2）△ADE 的周长等于 AB+AC．
19. 如图，D，E 是△ABC 边上的两点，且 BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC 的度数．
2

20.（2015 春•建昌县期末）已知：如图，有一块 Rt△ABC 的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现
在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m 为直角边长的直角三角
形，求扩充后等腰△ABD 的周长．
（1）在图 1 中，当 AB=AD=10m 时，△ABD 的周长为
（2）在图 2 中，当 BA=BD=10m 时，△ABD 的周长为
（3）在图 3 中，当 DA=DB 时，求△ABD 的周长．
；
；
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】解：设∠A 的度数是 x，则∠C=∠B=
∵BD 平分∠ABC 交 AC 边于点 D
，
∴∠DBC=
，
∴
+
+75=180°，
∴x=40°.
∴∠A 的度数是 40°.
故选 B．
2．【答案】B；
【解析】解：由三角形内角和为180 度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2
个．故选 B．
3.【答案】D；
【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不
邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；
若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．
4.【答案】B；
【解析】解：A、根据 AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD
正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据 AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
D、根据 ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
5.【答案】C；
3

【解析】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE 中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选 C．
6.【答案】C；
【解析】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是 4cm，4cm，5cm 符合三角形的三边关系，
∴周长为 13cm；
当 5cm 为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，
∴周长为 14cm，
故选 C.
7.【答案】A；
【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，
符合“角角边”判定方法，
所以，两个三角形必定全等．
8.【答案】C；
【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不
同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角
形不一定全等．
二、填空题
9．【答案】 20；
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是 80°，
∴另一个底角也是 80°，
∴顶角的度数为 180°﹣80°﹣80°=20°．
10．【答案】28；
【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x+12°=180°，解得 x=28°．
故答案为：28．
11.【答案】等边三角形；
【解析】解：∵（a﹣b） +（a﹣c） +|b﹣c|=0，
2
2
∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，
∴a=b，a=c，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
4

12.【答案】AH=CB 或 EH=BE 或 AE=CE；
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在 Rt△AEH 中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=BE；
根据 ASA 添加 AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
13.【答案】 cm 或 cm；
【解析】解：（1）当 1cm 是斜边，则其高就是斜边 1 的一半是 cm；
（2）当其直角边是 1cm 时，根据勾股定理得其斜边是 cm，再根据其高是斜边的一半
得高是 cm；所以它斜边上的高是 cm 或 cm．
14.【答案】在△ABC 和△ADC 中，如果 AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么 BC=DC．
【解析】解：把①②作为条件③作为结论，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=BD．
故答案为：在△ABC 和△ADC 中，如果 AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么 BC=DC．
15.【答案】PA=PB=PC;
【解析】∵边 AB 的垂直平分线相交于 P，
∴PA=PB，
∵边 BC 的垂直平分线相交于 P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC．
16.【答案】135°;
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线 BE、CF 交于点 O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．
故答案为 135°．
三、解答题
17.【解析】
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
5

∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即 AM⊥DM；
（2）作 NM⊥AD 交 AD 于 N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即 M 为 BC 的中点．
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 F 点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得 DB=DF，同理 EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．
19.【解析】
解：因为 AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为 BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20．【解析】解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
6

则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图 2，当 BA=BD=10m 时，
则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故 AD=
=4 （m），
则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
（3）如图 3，∵DA=DB，
∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m，
∴DC +AC =AD ，
2
2
2
即 x +8 =（6+x） ，
2
2
2
解得；x= ，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．
7

∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即 AM⊥DM；
（2）作 NM⊥AD 交 AD 于 N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即 M 为 BC 的中点．
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 F 点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得 DB=DF，同理 EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．
19.【解析】
解：因为 AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为 BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20．【解析】解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
6

则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图 2，当 BA=BD=10m 时，
则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故 AD=
=4 （m），
则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
（3）如图 3，∵DA=DB，
∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m，
∴DC +AC =AD ，
2
2
2
即 x +8 =（6+x） ，
2
2
2
解得；x= ，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．
7

∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即 AM⊥DM；
（2）作 NM⊥AD 交 AD 于 N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即 M 为 BC 的中点．
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 F 点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得 DB=DF，同理 EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．
19.【解析】
解：因为 AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为 BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20．【解析】解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
6

则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图 2，当 BA=BD=10m 时，
则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故 AD=
=4 （m），
则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
（3）如图 3，∵DA=DB，
∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m，
∴DC +AC =AD ，
2
2
2
即 x +8 =（6+x） ，
2
2
2
解得；x= ，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．
7

∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即 AM⊥DM；
（2）作 NM⊥AD 交 AD 于 N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即 M 为 BC 的中点．
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于 F 点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得 DB=DF，同理 EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．
19.【解析】
解：因为 AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为 BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD= （180°﹣∠ADB）= （180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE= （180°﹣∠AEC）= （180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20．【解析】解：（1）如图 1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
6

则△ABD 的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图 2，当 BA=BD=10m 时，
则 DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故 AD=
=4 （m），
则△ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
（3）如图 3，∵DA=DB，
∴设 DC=xm，则 AD=（6+x）m，
∴DC +AC =AD ，
2
2
2
即 x +8 =（6+x） ，
2
2
2
解得；x= ，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD 的周长为：AD+BD+AB=2（ +6）+10= （m）．
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