北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题4(附答案).docx

北师大版 2020 八年级数学下册第一章三角形的证明单元能力达标测试题 4（附答案）
1．若等腰三角形腰长为 10，底边长为 16，那么它的面积为（ ）
A．48
B．36
C．24
D．12
2．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分∠ODA 交 OA 于点 E，
若 AB=4，则线段 OE 的长为（
）
4
2
A．
B．4﹣2 2
C． 2
D． 2 ﹣2
3
3．如图，∆ABC 和∆ADE 是等边三角形，AD 是∆ABC 的角平分线，有下列结论：①；
AD⊥BC②EF=FD；③BE=BD；其中正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图， ABCD 中，AB=8cm，BC=10cm，BE 平分∠ABC 交 AD 边于点 E，则 ED
等于（
）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
5．直角三角形的边长分别为 a，b，c，若 a ＝9，b ＝16，那么 c 的值是（
）
2
2
2
A．5
B．7
C．25
D．25 或 7
6．已知：直角三角形的两条直角边的长分别为３和４，则第三边长为（ ）
7
7
5
A．5
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 两点在 BC 上，且有 AD=AE，BD=CE．若∠BAD=30°，
∠DAE=50°，则∠BAC 的度数为（
B．
C．
或 5
D．
）

A．130°
8．如图，在等腰D ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平
分线交于点 O、点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠CEF 的度数是（
B．120°
C．110°
D．100°
）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
9．已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ）
A．9
B．12
C．9 或 12
D．5
4
10．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，
3
点 在第二象限，若 ＝ ＝ ，则点 的坐标为（
C
）
C
BC OC OA
5
5
）
A．（ ﹣
，2）
B．（﹣3，
C．（﹣2，2）
D．（﹣3，2）
11．如图，在DACD中，AD=BD=BC，若
ÐC 25°
=
Ð
，则 ADB =
．
12．若等腰三角形一边上的高线等于这条边的一半，则这个等腰三角形顶角等于______．
DABC中 ，BD是边 AC
DBCE的面积为______.
上的高，CE平分ÐACB ，交 BD于点 E ，DE
= 2
，
13．如图，在
BC = 5
，则

DABC中， AB = AC,ÐB = 60 , AD ^ BC AB = 8cm，则
于 D ，若
14．在
o
DC =
cm
______
.
15．如图,一次函数
的图像与 轴、 轴交于 、 两点,P 为一次函数
的
图像上一点,以 P 为圆心能够画出圆与直线 AB 和 轴同时相切,则∠BPO=_________.
16．如图，在 Rt△ ABC 中，∠B=90°，以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
AC，BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于
2
点 P，作射线 CP 交 AB 于点 D．若 BD=3，AC=10，则△ ACD 的面积是_____．
17．如图，在△ ABC 中，AB＜AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于
点 E，AC=8cm，△ ABE 的周长为 15cm，则 AB 的长是___________.
18．等腰三角形的一个外角等于80°，则它的顶角是__________．
19．如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 E，F 是中线 AD 上的两点，则图中
阴影部分的面积是
.

20．已知坐标平面内一点 A(2，－1)，O 为原点，P 是 x 轴上一个动点，如果以点 P，O，
A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为_______.
21．如图是 8×8 的标准点阵图，直线 l、m 互相垂直，已知△ ABC．
（1）写出△ ABC 的形状；
（2）分别画出△ ABC 关于直线 l、m 对称的△ A B C ，△ A B C ，再画出△ A B C 关
1
1
1
2
2
2
1
1 1
于直线 m 对称的△ A B C
3
3
3
（3）△ A B C 与△ A B C 关于哪条直线对称？
（填“直线 l、m”）
2
2
2
3 3 3
22．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，C 重合），点 E
是射线 BC 上的一个动点（点 E 不与点 B，C 重合），连接 DE，以 DE 为边作等边△ DEF，
连接 CF.
（1）如图 1，当 DE 的延长线与 AB 的延长线相交，且点 C，F 在直线 DE 的同侧时，
过点 D 作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G，求证：CF=EG；
（2）如图 2，当 DE 的反向延长线与 AB 的反向延长线相交，且点 C，F 在直线 DE 的
同侧时，求证：CD=CE+CF；
（3）如图 3，当 DE 的反向延长线与线段 AB 相交，且点 C，F 在直线 DE 的异侧时，
猜想 CD、CE、CF 之间的等量关系，并说明理由.
23．如图，Rt△
中，
，
，
， 是斜边 上的高，点 为边

上一点（点 不与点 、 重合），连接 ，作 ⊥ ， 与边 、线段 分别交
于点 ， ；
（1）求线段 、 的长；
（2）设
，
，求 关于 的函数解析式，并写出 x 的取值范围．
12
24．如图所示，在△ ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC＝4，BC＝3，CD＝ （1）求 AD
5
的长；（2）求证：△ ABC 是直角三角形．
25．如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C 在小
正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ ABC 关于直线 l 成轴对称的△ AB′C′；
（2）在直线 l 上找一点 P，使 PB′+PC 的长最短；
（3）若△ ACM 是以 AC 为腰的等腰三角形，点 M 在小正方形的顶点上．这样的点 M
共有
个．
26．如图，△ ABC 中，AB＝AC，

(1)请你利用直尺和圆规完成如下操作：
①作△ ABC 的角平分线 AD；
②作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AD 相交于点 P；
③连接 PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（2）线段 ， ， 之间的数量关系是
PA PB PC
；请说明理由．
（3）若∠ABC＝70°，求∠BPC 的度数．
27．如 图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 经过点 C（a，a），且 交 x 轴于点 A（m，0），
交 轴于点 （0， ）， 且 ， 满足
m n
6
＋（ ﹣12）2＝ ．
0
y
B
n
m
n
（1）求直线
的解析式及 点坐标；
C
AB
（2）过点 作
CD AB
⊥
交 轴于点 ，请在图 1 中画出图形，并求 点的坐标；
x D D
C
（3）如图2，点 （0，﹣2），点 为射线
上一点，且∠CEP＝45°，求点 的坐标．
E
P
AB
P
28．如图:已知在△ ABC 中,AB=AC,AE∥BC,试说明 AE 平分∠DAC．

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
作出 BC 边上的高 AD，则在Rt△ ADC 中，利用勾股定理就可以求出高AD，就可以求出三
角形的面积．
【详解】
解：作 AD⊥BC 于 D，
则∠ADC=90°，
∵AB=AC，
1
∴BD=CD= BC=8，
2
∴AD=
-CD
= 10 -8 =6
AC
2
2
2
2
1
1
2
∴S△ ABC= BCAD=
×16×6=48．
2
故答案为：48．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，利用勾股定理求出三角形的高 AD 是解答本
题的关键．
2．B
【解析】
如图，过 E 作 EH⊥AD 于 H，则△ AEH 是等腰直角三角形，

∵AB=4，△ AOB 是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4×
=2
，
2
2
∵DE 平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设 OE=x，则 EH=AH=x，AE=2
-x，
2
∵Rt△ AEH 中，AH +EH =AE ，
2
2
2
∴x +x =（2
-x） ，
2
2
2
2
解得 x=4-2
2
（负值已舍去），
∴线段 OE 的长为 4-2
故选：B．
．
2
【点睛】考查正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理列
方程进行计算．
3．D
【解析】
解：∵△ABC 是等边三角形，△ AED 是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AE=AD=ED，
∠EAD=60°，∵∠DAB=∠DAC=30°，∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB=∠BAD=30°，∴AB⊥ED，
EF=DF，故②正确
∴BE=BD，故③正确，故选 D．
点睛：本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解
决问题，属于中考基础题．
4．A
【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质得出 BC=AD=10cm，AD∥BC，推出∠ABE=∠AEB，求出
AE=AB=8cm，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=10cm，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=8cm，
∴ED=AD-AE=10cm- 8cm=2cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出AE=AB.
5．D
【解析】
【分析】
此题有两种情况：①当 a，b 为直角边，c 为斜边，由勾股定理求出 c 即可；②当 a，c 为直
2
角边，b 为斜边，利用勾股定理即可求解；即可得出结论．
【详解】
解：当 b 为直角边时，c ＝a +b ＝25，
2
2
2
当 b 为斜边时，c ＝b ﹣a ＝7，
2
2
2
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握；解答此题要用分类讨论的思想，学生容易忽略
a，c 为直角边，b 为斜边时这种情况，很容易选 A，因此此题是一道易错题．
6．A
【解析】
试题分析：因为两条直角边的长分别为３和４，所以根据勾股定理得：第三边长

3 + 4 = 25 = 5.
=
2
2
故选 A.
考点：勾股定理.
7．C
【解析】试题解析：∵△ABC 中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE=30°
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+50°+30°=110°
故选 C．
8．C
【解析】
【分析】
连接 OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后
根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】
1
如图，连接 OB，∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO= ∠BAC=12×50°=25°.
2
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°.∵DO 是 AB 的垂直平分线，∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=65°−25°=40°.∵AO 为∠BAC 的平分线，
AB=AC，∴直线 AO 垂直平分 BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿 EF(E
在 BC 上,F 在 AC 上)折叠，点 C 与点 O 恰好重合，∴OE=CE.∴∠COE=∠OCB=40°；
1
在△OCE 中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−40°−40°=100°∴∠CEF= ∠CEO=50°.故
2
选：C.
【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质的运用、垂直平分线性质的运用、折叠的性质，解答时运用等
腰三角形的性质和垂直平分线的性质是解答的关键.
9．B
【解析】
试题解析：当腰为 5 时，周长=5+5+2=12；
当腰长为 2 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是 12．
故选 B．
10．A
【解析】
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B 的坐标，由 BC=OC 利用等腰三角形的性
质可得出 OC、OE 的值，再利用勾股定理可求出 CE 的长度，此题得解．
【详解】
4
∵直线 y=- x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，
3
∴点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，4）．
过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E，如图所示．
∵BC=OC=OA，
∴OC=3，OE=2，
∴CE=
OC2 OE2
-
= 5 ,
∴点 C 的坐标为（- 5 ，2）．
故选 A．
【点睛】
考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角

形的性质结合勾股定理求出 CE、OE 的长度是解题的关键．
【答案】80°
【解析】
试题解析：解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝25°，
在△BDC 中，∠ABD＝∠BDC＋∠C＝50°，
∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，
∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝80°.
考点：等腰三角形的性质
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质.等腰三角形的两个底角相等；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
12．30°或 90°或 120°或 150°
【解析】
试题分析：分情况讨论：①三角形是锐角三角形时：当腰上的高等于腰长的一半时，顶角为
30°；当底上的高等于底的一半时，顶角为 90°（舍去）；②三角形是直角三角形时：当斜边
上的高等于斜边的一半时，顶角为 90°；当一直角边是另一直角边的一半时，与已知不符，
故舍去；③三角形是钝角三角形：当腰上的高等于腰的一半时，顶角为150°；当底上的高
等于底的一半时，顶角为 90°，与假设不符，故舍去；当底的高等于腰长的一半时，顶角为
120°．所以该等腰三角形的顶角为 30°或 90°或 120°或 150°．
考点：等腰三角形的性质、三角形内角和定理
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；分类讨论是正确解答本题的关
键．考虑问题一定要全面，根据题意选择合题意的值．
13．5
【解析】
【分析】
作 EF⊥BC 于 F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】
作 EF⊥BC 于 F，

∵CE 平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
1
1
2
∴S△ BCE= BCEF=
×5×2=5．
2
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
14．4
【解析】
【分析】
根据题意做出图形,根据等边三角形的性质及含 30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
= AC,ÐB = 60o,
如图，∵ AB
∴三角形 ABC 为等边三角形，
∴BC=AB=8,
∵
AD BC
^
∴AD 是△ ABC 的中线，
1
∴CD= BC=4cm，
2
故填：4.

【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意画出图形进行求解.
15．30°或 120°
【解析】试题解析：分两种情况：
（1）当∠ABO 的平分线与
相交时，点 P 即为圆心.如图，
令 y=0，则 x=1，令 x=0，则 y= ，即 AO=1，BO=
∴tan∠ABO=
∴∠ABO=30°
∵BP 为∠ABO 的平分线
∴∠OBP=15°
又∠BOP=45°
∴∠BPO=180°-45°-15°=120°
（2）当∠ABO 的外角平分线与
相交时，点 P 即为圆心.如图，
同理可求∠OBP=30°+75°=105°
∴∠BPO=180°-45°-105°=30°
16．15
【解析】
分析：作 DQ⊥AC，由角平分线的性质知 DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q，

由作图知 CP 是∠ACB 的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
1
1
2
∴S△ ACD= ACDQ=
×10×3=15，
2
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的
性质．
17．7cm
【解析】
解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BE=CE，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，
∵AC=8cm，△ ABE 的周长为 15cm，∴AB+8=15，解得 AB=7cm，故答案为：7cm．
点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出
△ ABE 的周长=AB+AC 是解题的关键．
18．100°
【解析】
①当80°是顶角的外角时，顶角为100° ．②当80°是底角的外角时，底角为100°
，不合题
意．故答案为：100°.
19．6.
【解析】
解：∵AB=AC，AD 是△ ABC 的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，
∴△ABC 关于直线 AD 对称，
∴B、C 关于直线 AD 对称，
∴△CEF 和△ BEF 关于直线 AD 对称，

∴S△ BEF=S△ CEF，
由勾股定理得：
，
∵△ABC 的面积是 ×BC×AD= ×6×4=12，
∴图中阴影部分的面积是 S△ ABC=6．
20．4
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA 为等腰三角形底边；②OA 为等腰三角形一
条腰．
【详解】
如图：
①OA 为等腰三角形底边，符合条件的动点P 有一个；
②OA 为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P 有三个．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际
问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
21．（1）△ ABC 是等腰直角三角形；（2）见解析；（3）l.
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出三边长，再运用勾股定理的逆定理可判断出△ ABC 的形状；
（2）利用关于直线对称点的性质得出对应点连接得出图形；
（3）观察图形可得出结果。

【详解】
解：（1）△ ABC 是等腰直角三角形.
理由：把相邻两格式的距离看作 1，由勾股定理可得：
AC = 5, BC = 5, AB = 10
\ AC = BC
\ AC + BC = AB
2
2
2
∴△ABC 是等腰直角三角形.
（2）如图所示，
(3)由图可得：
△ A B C △ A B C 关于直线 l 对称.
与
2
2
2
3
3
3
故答案为：l.
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换以及勾股定理和其逆定理，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）FC=DC+EC，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证出△ DCG 是等边三角形，得出 DC
＝DG，由△ DEF 是等边三角形得出 DF＝DE，然后根据角的关系得出∠EDG＝∠FDC，进
而得出△ EDG≌△FDC，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）过点 作
D
DG AB DG BC G
∥ ， 交 于点 ．同（1）的证明思路可得△ EDG≌△FDC．根
据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论；

（3）过点 作 于点 ．类似于（1（）2）的证明思路可得△ EDG≌△FDC．根
∥ ， 交
D DG AB DG BC G
据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论．
试题解析：
（1）证明：如图 1，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°．
∴△ DGC 是等边三角形．
∴DC＝DG，∠CDG＝60°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°
∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF，
∴∠EDG＝∠FDC，
∴△EDG≌△FDC．
∴FC＝EG．
（2）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
如图 2，过点 作
D
DG AB DG BC G
∥ ， 交 于点 ．
∴∠DGC＝∠B＝60°．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°
∴△DGC 是等边三角形．

∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE，
∴∠EDG＝∠FDC．
∴△EDG≌△FDC．
∴EG＝FC．
∵CG＝CE＋EG，
∴CG＝CE＋FC．
∴CD＝CE＋FC．
（3）解：如图 3，猜想
、 、 之间的等量关系是 ＝ ＋ ．
DC EC FC FC DC EC
证明如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°．
过点 作
D
DG AB DG BC G
∥ ， 交 于点 ．
∴∠DGC＝∠B．
∴∠DGC＝∠DCG＝60°
∴△DGC 是等边三角形．
∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°．
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE，
∴∠EDG＝∠FDC．
∴△EDG≌△FDC．
∴EG＝FC．
∵EG＝EC＋CG，

∴FC＝EC＋DC．
点睛：本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构
造出全等三角形是解决此题的关键．
23．（1）
，
；（2）
，（
）
【解析】
试题分析：（1）根据条件易求 BD=1,AB=4；由勾股定理可求 CD 的长．
（2）可证△
试题解析：（1）
（2）∵
∽△
，从而可求 y 关于 x 的函数解析式．
，
；
，
，
∴△
∴
∽△
，
，
即
，
∴
，（
）
考点：相似三角形的性质与判定．
16
24．（1） ，（2）见解析．
5
【解析】
【分析】
（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得 AD＝
-CD2 ；
AC
2
（2）依据勾股定理的逆定理，可得 BC +AC ＝AB ，即可得到△ ABC 是直角三角形．
2
2
2
【详解】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
12
16
5
4 - ( ) =
∴AD＝
-CD2
＝
；
AC
2
2
2
5
16
5
（2）证明：由上题知 AD＝
，
9
同理可得 BD＝ ，
5
∴AB＝AD+BD＝5，

∵3 +4 =5 ，
2
2
2
∴BC +AC ＝AB ，
2
2
2
∴△ABC 是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题
的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）依据轴对称的性质得到各顶点，进而得出与△ ABC 关于直线 l 成轴对称的△ AB′C′；
（2）依据两点之间，线段最短，连接 B'C 交直线 l 于点 P，则 PB′+PC 的长最短；
（3）分别以点 A 和点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，即可得到符合条件的点M．
【详解】
解：（1）如图所示，△ AB′C′即为所求；
（2）如图所示，点 P 即为所求；
（3）如图所示，符合条件的点 M 共有 4 个，

故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要
考虑线段的性质定理，结合对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．（1）见解析；（2）PA=PB=PC，理由见解析；（3）80°．
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作角平分线 AD 和 AB 的垂直平分线，它们相交于 P 点；
（2）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（3）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：
∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的
性质可得结论．
【详解】
解：（1）如图，AD、EF 、点 P 为所作；
（2）PA=PB=PC，理由：
∵AB=AC，AD 平分∠BAC，
∴AD 是 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP 是 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
（3）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠BAC=180°-2×70°=40°，
∵AM 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【点睛】
本题考查角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、
线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．
27．（1）y＝－2x＋12，点 C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点 D 坐标（－4，0）；（3）
14 64
-
点 的坐标（
P
，
）
3
3
【解析】
【分析】
（1）由已知的等式可求得 、 的值，于是可得直线
m n
的函数解析式，把点 的坐标代
C
AB
入可求得 的值，由此即得答案；
a
k gk = -1
（2）画出图象，由
CD AB
⊥
知
可设出直线
的解析式，再把点 代入可得
CD C
AB
CD
的解析式，进一步可求 点坐标；
D
CD
（3）如图 2，取点 （－2，8），易证明
⊥
且
＝ ，于是得∠PEC＝45°，进一步
CE CF CE CF
F
求出直线
【详解】
的解析式，再与直线
联立求两直线的交点坐标，即为点 .
AB P
EF
解：（1）∵ m - ＋（ ﹣ ）2＝ ，
6
12
0
n
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线
解析式为 ＝ ＋ ，
y kx b
AB
ìb =12
ìk = -2
则有 í
，解得 í
，
î6k + b = 0
îb =12
∴直线 AB 解析式为 y＝－2x＋12，
∵直线 AB 过点 C（a，a），

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点 C 坐标（4，4）．
（2）过点 作
⊥ 交 轴于点 ，如图 1 所示，
CD AB x D
C
1
2
设直线
解析式为 ＝
y
＋b′，把点 （4，4）代入得到 b′＝2，
x C
CD
1
∴直线 CD 解析式为 y＝ x＋2，
2
∴点 D 坐标（－4，0）．
（3）如图 2 中，取点 （－2，8），作直线
交直线
于 ，
AB P
F
EF
图 2
3
2
20
∵直线 EC 解析式为 y＝ x－2，直线 CF 解析式为 y＝－ x＋
，
2
3
3
3
2
∵ ×（－ ）＝－1，
2
3
∴直线 CE⊥CF，
13 ，CF＝2 13
∵EC＝2
∴EC＝CF，
，

∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线 FE 解析式为 y＝－5x－2，
14
3
ì
x = -
ï
ìy = -2x +12
ï
由 í
解得
í
ï
，
y
= -5x - 2
64
î
y =
ï
3
î
14 64
∴点 P 的坐标为（- ,
）.
3 3
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和
求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关
k gk = -1
键是熟知坐标系中两直线垂直满足
，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.
1
2
其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点 （－2，8）是解题的突破口.
F
28．详见解析
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即
可得∠DAE=∠EAC，所以 AE 平分∠DAC．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，
∴∠DAE=∠EAC，
∴AE 平分∠DAC．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关
键．

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点 C 坐标（4，4）．
（2）过点 作
⊥ 交 轴于点 ，如图 1 所示，
CD AB x D
C
1
2
设直线
解析式为 ＝
y
＋b′，把点 （4，4）代入得到 b′＝2，
x C
CD
1
∴直线 CD 解析式为 y＝ x＋2，
2
∴点 D 坐标（－4，0）．
（3）如图 2 中，取点 （－2，8），作直线
交直线
于 ，
AB P
F
EF
图 2
3
2
20
∵直线 EC 解析式为 y＝ x－2，直线 CF 解析式为 y＝－ x＋
，
2
3
3
3
2
∵ ×（－ ）＝－1，
2
3
∴直线 CE⊥CF，
13 ，CF＝2 13
∵EC＝2
∴EC＝CF，
，

∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线 FE 解析式为 y＝－5x－2，
14
3
ì
x = -
ï
ìy = -2x +12
ï
由 í
解得
í
ï
，
y
= -5x - 2
64
î
y =
ï
3
î
14 64
∴点 P 的坐标为（- ,
）.
3 3
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和
求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关
k gk = -1
键是熟知坐标系中两直线垂直满足
，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.
1
2
其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点 （－2，8）是解题的突破口.
F
28．详见解析
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即
可得∠DAE=∠EAC，所以 AE 平分∠DAC．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，
∴∠DAE=∠EAC，
∴AE 平分∠DAC．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关
键．

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点 C 坐标（4，4）．
（2）过点 作
⊥ 交 轴于点 ，如图 1 所示，
CD AB x D
C
1
2
设直线
解析式为 ＝
y
＋b′，把点 （4，4）代入得到 b′＝2，
x C
CD
1
∴直线 CD 解析式为 y＝ x＋2，
2
∴点 D 坐标（－4，0）．
（3）如图 2 中，取点 （－2，8），作直线
交直线
于 ，
AB P
F
EF
图 2
3
2
20
∵直线 EC 解析式为 y＝ x－2，直线 CF 解析式为 y＝－ x＋
，
2
3
3
3
2
∵ ×（－ ）＝－1，
2
3
∴直线 CE⊥CF，
13 ，CF＝2 13
∵EC＝2
∴EC＝CF，
，

∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线 FE 解析式为 y＝－5x－2，
14
3
ì
x = -
ï
ìy = -2x +12
ï
由 í
解得
í
ï
，
y
= -5x - 2
64
î
y =
ï
3
î
14 64
∴点 P 的坐标为（- ,
）.
3 3
【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和
求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关
k gk = -1
键是熟知坐标系中两直线垂直满足
，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.
1
2
其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点 （－2，8）是解题的突破口.
F
28．详见解析
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由平行线的性质可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，即
可得∠DAE=∠EAC，所以 AE 平分∠DAC．
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，
∴∠DAE=∠EAC，
∴AE 平分∠DAC．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关
键．

∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点 C 坐标（4，4）．
（2）过点 作
⊥ 交 轴于点 ，如图 1 所示，
CD AB x D
C
1
2
设直线
解析式为 ＝
y
＋b′，把点 （4，4）代入得到 b′＝2，
x C
CD
1
∴直线 CD 解析式为 y＝ x＋2，
2
∴点 D 坐标（－4，0）．
（3）如图 2 中，取点 （－2，8），作